Topologia podprzestrzeni

Topologia podprzestrzenitopologia określona na podzbiorze danej przestrzeni topologicznej, nazywanym wtedy podprzestrzenią, za pomocą naturalnie odziedziczonej z przestrzeni wyjściowej topologii. Topologię podprzestrzeni nazywa się też topologią śladową, relatywną lub indukowaną.

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią topologiczną, zaś   będzie podzbiorem zbioru   Topologia podprzestrzeni   indukowana z przestrzeni   to rodzina  

Łatwo się sprawdza że   jest przestrzenią topologiczną. Często zamiast mówić   z topologią podprzestrzeni   mówi się po prostu podprzestrzeń  .

PrzykładyEdytuj

  • Jeśli w zbiorze liczb rzeczywistych   z topologią naturalną rozważymy zbiór liczb naturalnych   z topologią podprzestrzeni, to stanie się on przestrzenią dyskretną. Natomiast zbiór liczb wymiernych   z topologią podprzestrzeni nie jest przestrzenią dyskretną – ta przestrzeń nie ma nawet punktów izolowanych.
  • Jeśli   (z topologią naturalną), a   to zbiór   jest otwarty w   ale nie w  

Charakteryzacja i własnościEdytuj

Topologia podprzestrzeni ma następujące własności. Przypuśćmy, że   jest przestrzenią topologiczną a   jest jej podprzestrzenią.

  • Niech   będzie zanurzeniem identycznościowym. Wówczas dla dowolnej przestrzeni topologicznej   i funkcji     jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja złożona   jest ciągła.

Powyższa własność jest charakteryzacją w tym sensie, że może być użyta do zdefiniowania topologii podprzestrzeni na  

  • Jeśli   jest funkcją ciągłą, to jej ograniczenie do   też jest ciągłe.
  • Podzbiór   jest domknięty (w topologii na  ) wtedy i tylko wtedy, gdy   dla pewnego domkniętego podzbioru  
  • Jeśli   jest bazą topologii na   to   jest bazą topologii na  
  • Każda podprzestrzeń przestrzeni   jest także podprzestrzenią przestrzeni  
  • Jeśli   jest otwartym podzbiorem   to podziór   jest otwarty w   wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwarty w  
  • Jeśli   jest domkniętym podzbiorem   to podziór   jest domknięty w   wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty w  
  • Jeśli   jest przestrzenią metryczną z metryką   to wtedy   jest metryką na   i topologia podprzestrzeni na   jest wyznaczona przez  

Własności dziedziczneEdytuj

Mówimy, że własność P przestrzeni topologicznych jest własnością dziedziczną, gdy:

dla każdej przestrzeni topologicznej   jeśli   ma własność P i   jest podprzestrzenią   to   także ma własność P.

Przykłady własności dziedzicznych:

Przykłady własności, które nie są własnościami dziedzicznymi:

Zobacz teżEdytuj