Topologia porządkowa

Topologia porządkowatopologia wyznaczona przez porządek liniowy w pewnym zbiorze. Naturalnym przykładem topologii porządkowej jest prosta rzeczywista z topologią generowaną przez przedziały otwarte.

KonstrukcjaEdytuj

Niech   będzie zbiorem co najmniej dwuelementowym liniowo uporządkowanym. Dla   określamy zbiory

  •  
  •  
  •  

które będziemy nazywać przedziałami. Rodzina wszystkich zbiorów tej postaci, spełnia warunki B1-B2, a więc wyznacza bazę pewnej topologii. Topologię tę nazywa się topologią przedziałową bądź topologią wyznaczoną przez rodzinę przedziałów.

Topologie porządkowe dolne i górneEdytuj

Oczywiście rodziny     również spełniają warunki B1-B2, ale wyznaczają inne topologie. Topologie te nazywamy topologiami porządkowymi, odpowiednio, dolną i górną.

WłasnościEdytuj

  • Jeżeli zbiór liniowo uporządkowany w sposób gęsty zawiera przeliczalny podzbiór gęsty   oraz wprowadzimy w tym zbiorze topologię porządkową, to ma ona ciężar przeliczalny. Istotnie, poniższa rodzina przedziałów jest przeliczalną bazą tej topologii:
 

Zobacz teżEdytuj