Topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń

Topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń (także słaba topologia, ang. initial topology) – najuboższa topologia w danym zbiorze względem której każde przekształcenie ze z góry zadanej rodziny przekształceń zbioru o wartościach w przestrzeniach topologicznych jest ciągłe. Pojęcie topologii wprowadzonej przez rodzinę przekształceń wprowadził Nicolas Bourbaki.

KonstrukcjaEdytuj

Niech   będzie zbiorem,   będzie rodziną przestrzeni topologicznych oraz niech dla każdego   dana będzie funkcja (przekształcenie)

 

W zbiorze   istnieje najsłabsza topologia, względem której każda funkcja   jest ciągła. Bazą tej topologii jest rodzina zbiorów postaci

 

gdzie   jest skończonym podzbiorem zbioru   oraz   jest otwartym podzbiorem   Topologia ta nazywana jest topologią wyznaczoną przez rodzinę przekształceń  

  • Przekształcenie przestrzeni topologicznej   w przestrzeń   której topologia jest wyznaczona przez rodzinę przekształceń   gdzie   jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego   złożenie   jest ciągłe.

PrzykładyEdytuj

  • Jeżeli   jest przestrzenią liniowo-topologiczną, której przestrzeń sprzężona   jest nietrywialna (na przykład,   jest przestrzenią lokalnie wypukłą, w szczególności, przestrzenią unormowaną), to w zbiorze   można wprowadzić topologię wyznaczoną przez rodzinę   Topologia ta, nazywana słabą topologią w   jest liniowa oraz lokalnie wypukła.
  • Jeżeli   jest taką przestrzenią liniowo-topologiczną jak wyżej, to w przestrzeni   można wprowadzić tzw. *-słabą topologię, tj. topologię wprowadzoną przez rodzinę przekształceń   gdzie   dla   i   (każde odwzorowanie   jest funkcjonałem liniowym na  ).

BibliografiaEdytuj