Trójki pitagorejskie

Matematyka

Trójka pitagorejska (albo liczby pitagorejskie) – trzy liczby całkowite dodatnie spełniające tzw. równanie Pitagorasa:

Pochodząca z ok. 1800 r. p.n.e. babilońska gliniana tabliczka pisma klinowego zwana Plimpton 322 być może zawierająca liczby powiązane z trójkami pitagorejskimi.

Ich nazwa pochodzi od twierdzenia Pitagorasa, na mocy którego boki trójkąta prostokątnego spełniają powyższą zależność. W poniższej tabeli przedstawiono kilka pierwszych (względem krótszej przyprostokątnej) trójek pitagorejskich:

3 4 5
5 12 13
6 8 10
7 24 25
8 15 17
9 12 15
12 16 20

WłasnościEdytuj

Jeżeli trójka   jest pitagorejska, to jest nią też   dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej   Trójkę pitagorejską nazywamy pierwotną, jeśli     i   nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. Zatem z każdej trójki pitagorejskiej możemy uzyskać pierwotną przez podzielenie jej przez największy wspólny dzielnik i dowolną trójkę pitagorejską możemy otrzymać z pierwotnej przez pomnożenie jej wszystkich trzech elementów przez odpowiednią tę samą liczbę całkowitą dodatnią.

Jeśli   są liczbami całkowitymi dodatnimi, to

 
 
 

jest trójką pitagorejską. Jest ona pierwotna wtedy i tylko wtedy, gdy   i  względnie pierwsze i ich suma jest liczbą nieparzystą. Trójki pitagorejskiej (9, 12, 15), jak również wielu innych, w ten sposób nie otrzymamy, ale każda trójka pierwotna (być może po zamianie   i  ) powstaje tą drogą z jedynej pary liczb względnie pierwszych   Stąd wniosek, że istnieje nieskończenie wiele pierwotnych trójek pitagorejskich.

Trójkąt, którego długości boków stanowią trójkę pitagorejską, nazywany jest trójkątem pitagorejskim. Z kolei trójkąt o bokach długości 3, 4 i 5 nazywa się trójkątem egipskim.

Rozwiązanie elementarneEdytuj

Kwadrat nieparzystej liczby naturalnej przy dzieleniu przez 8 daje resztę 1. Zatem suma kwadratów dwóch dowolnych liczb nieparzystych daje resztę 2 z dzielenia przez 8. Z drugiej strony, kwadrat dowolnej liczby naturalnej daje przy dzieleniu przez 8 jedną z reszt 0, 1, 4. Zatem suma dwóch kwadratów nieparzystych liczb naturalnych nigdy nie jest kwadratem.

Niech   będą liczbami naturalnymi, spełniającymi równanie:

 
(1)

Zatem co najmniej jedna z liczb   jest parzysta. Przy założeniu, że   są względnie pierwsze, jedna z liczb   powiedzmy   jest nieparzysta, a   jest parzysta. Zatem   jest nieparzysta i względnie pierwsza zarówno z liczbą   jak i z liczbą  

Każdy wspólny dzielnik liczb naturalnych   oraz   jest też dzielnikiem ich sumy, równej   oraz ich różnicy, równej   jest więc równy 1, a liczby   oraz   są względnie pierwsze.

Równanie (1) ma dokładnie te same rozwiązania   co równanie:

 
(2)

Ponieważ liczby   oraz   są względnie pierwsze, to są pełnymi kwadratami pewnych liczb naturalnych   oraz  

 
 

skąd:

 
 
 

Dla każdego pierwotnego rozwiązania   równania (1) istnieją liczby naturalne   oraz   takie że rozwiązanie   wyraża się poprzez   oraz   jak wyżej. Aby otrzymać rozwiązanie pierwotne, należy wybrać liczby   oraz   o różnej parzystości i względnie pierwsze. Ostatnie trzy równości posłużą wtedy za definicję rozwiązania.

WariacjaEdytuj

W poprzednim fragmencie, i wciąż uznając jego założenia, zamiast równania (2), rozpatrzmy równanie

 
(3)

Każdy wspólny dzielnik nieparzystych liczb   oraz   jest też wspólnym dzielnikiem ich sumy, równej   oraz różnicy, równej   czyli jest równy 1 lub 2 (mówimy tylko o dodatnich liczbach całkowitych; w dalszym ciągu obowiązuje założenie z poprzedniego fragmentu o względnej pierwszości liczb   a więc i liczb  ). Ale 2 nie jest podzielnikiem nieparzystych liczb   oraz   Zatem są one względem pierwsze; więc są odpowiednio kwadratami pewnych nieparzystych, dodatnich liczb całkowitych   czyli:

 
 
 

Pokazaliśmy, że dla każdego rozwiązania pierwotnego   istnieją nieparzyste dodatnie liczby całkowite   oraz   takie że rozwiązanie   określone jest przez powyższe trzy równości. Tak zadane przez nieparzyste   oraz   rozwiązanie   jest pierwotne wtedy i tylko wtedy, gdy   są względnie pierwsze.

Otrzymaliśmy nową parametryzację pierwotnych trójek pitagorejskich, nieco różną od poprzedniej.

Ogólnie, gdy liczby   są tej samej parzystości, to powyższa trójka równości definiuje pewną trójkę pitagorejską, niekoniecznie pierwotną. Nie otrzyma się w ten sposób trójki pitagorejskiej (6, 8, 10) i wielu innych.

Wariacja IIEdytuj

Na podstawie metody przyrostów kwadratów liczb parzystych i nieparzystych można wyprowadzić zależność:

 
 
 

W powyższej zależności   jest dzielnikiem   takim, że dla parzystego   parametr   jest również parzysty, a dla nieparzystego   jest nieparzysty. Dla wartości parametru   i   (z wyjątkiem liczb typu  ) otrzymujemy trójki pierwotne. Dla pozostałych dzielników   tworzone są pozostałe i możliwe kombinacje trójek pitagorejskich dla zadanego  

Dla   i   zależność jest następująca:

 
 
 

Dla   i   zależność jest następująca:

 
 
 

co łatwo udowodnić, podstawiając za     i   ogólne wyrażenia. Nie otrzyma się w ten sposób np. trójki   i wielu innych

Rozwiązanie zespolone z użyciem liczb GaussaEdytuj

Niech   oznacza jedną z dwóch liczb zespolonych, których kwadrat jest równy  

 

Liczby postaci   gdzie   oraz   są liczbami całkowitymi, nazywamy liczbami Gaussa. Tworzą one pierścień Gaussa. W pierścieniu Gaussa istnieją dokładnie cztery jedności, czyli liczby multiplikatywnie odwracalne:

 

(Liczbę 1 nazywamy jedynką). Liczba sprzężona do jedności   jest jej odwrotnością  

Liczbę Gaussa nazywa się liczbą pierwszą, gdy w każdym jej rozkładzie na iloczyn dwóch liczb Gaussa jeden z czynników jest jednością. Iloczyn liczby pierwszej Gaussa przez jedność też jest liczbą pierwszą. Tak związane pary liczb pierwszych nazywamy liczbami równoważnymi. Każda różna od zera liczba Gaussa rozkłada się na skończony iloczyn liczb pierwszych Gaussa, jednoznacznie z dokładnością do równoważności i kolejności występowania w iloczynie.

Gdy liczba Gaussa   jest iloczynem liczb Gaussa   oraz   to liczby   oraz   nazywamy dzielnikami liczby   (w pierścieniu Gaussa). Gdy   jest liczbą rzeczywistą (gdy ma część urojoną równą zero), to dzielnikami są także liczby Gaussa sprzężone bowiem ogólnie:

 

gdy  

Dwie liczby Gaussa nazywamy względnie pierwszymi, gdy ich jedynymi wspólnymi podzielnikami są jedności. (Tak więc jedności i tylko jedności są względnie pierwsze z dowolną liczbą Gaussa). Dwie liczby naturalne są względnie pierwsze w klasycznym sensie (w kontekście ciała liczb wymiernych) wtedy i tylko wtedy gdy są względnie pierwsze jako liczby Gaussa (w pierścieniu liczb Gaussa).

Powróćmy teraz do równania:

 
(1)

gdzie   oznaczają względnie pierwsze, dodatnie liczby całkowite. Zapiszmy równanie (1) równoważnie:

 
(1G)

Każdy dzielnik liczb   oraz   jest też dzielnikiem ich sumy   oraz różnicy   a więc liczby 2. Zakładając, jak we wcześniejszych fragmentach, że   jest rozwiązaniem pierwotnym, liczby   oraz   są ponadto różnej parzystości, więc   oraz   są względnie pierwsze. Skoro tak, to są one kwadratami liczb Gaussa, pomnożonymi przez jedność, to znaczy: istnieją liczby całkowite (wymierne)   oraz   oraz jedność gaussowska   (równa   lub   lub   lub  ), dla których:

 
 

Drugie równanie wynika z pierwszego. Wystarczy rozpatrywać przypadki   oraz   jako że   oraz   Dla   otrzymujemy:

 
 
 

Gdy   to otrzymujemy:

 

skąd:

 
 
 

Wprowadźmy liczby   oraz   Oczywiście   Pokazaliśmy, że dla dowolnego rozwiązania pierwotnego   równania (1) istnieją całkowite liczby dodatnie   oraz   (wymierne), takie że odpowiednio:

  lub  
  lub  
 

Rozwiązanie geometryczneEdytuj

Można prosto rozwiązać równanie[1]

 
(1)

korzystając z narzędzi elementarnej geometrii algebraicznej. Z rozwiązań wymiernych   tego równania otrzymujemy rozwiązania całkowite, mnożąc liczby wymierne   przez ich wspólny mianownik. Zauważmy ponadto, że jeśli   to jedynym rozwiązaniem równania

 

jest trójka liczb (0, 0, 0). Rozwiązanie to będziemy nazywać rozwiązaniem zerowym.

 
Parametryzacja rozwiązań równań Pitagorasa za pomocą wymiernego parametru  

Każdemu niezerowemu rozwiązaniu całkowitemu   odpowiada rozwiązanie

 

równania:

 
(4)

Jest to równanie okręgu jednostkowego o środku w początku układu współrzędnych. Również każdemu rozwiązaniu wymiernemu   równania   odpowiadają takie rozwiązania całkowite   równania Pitagorasa, że   (wystarczy, aby liczba   była podzielna przez mianowniki liczb   i  ). Aby rozwiązać równanie Pitagorasa, wystarczy znaleźć punkty na okręgu jednostkowym o obu współrzędnych wymiernych. Jednym z rozwiązań jest   Przez ten punkt oraz dowolny inny wymierny punkt okręgu możemy poprowadzić prostą. Współczynnik kierunkowy   tej prostej jest liczbą wymierną. Dlatego ten drugi punkt jest rozwiązaniem układu równań (4) i (5):

 
(5)

dla pewnej liczby wymiernej   Trzeba wykazać, że dla dowolnej liczby wymiernej   rozwiązanie powyższego układu jest liczbą wymierną. Po podstawieniu (5) do (4) dla   z (5) wynika, że:

 
 
 

(bo  ), skąd:

 

Podstawiając obliczoną wartość   do równania (5), otrzymujemy

 

W ten sposób wszystkie rozwiązania wymierne równania (4) wyrażone są za pomocą wymiernego parametru   Otrzymaliśmy tożsamość:

 

lub równoważnie:

 

Po podstawieniu   gdzie   i   są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi   i pomnożeniu równania przez  

 

Wtedy każde rozwiązanie całkowite równania (1) w liczbach   względnie pierwszych wyraża się wzorami:

 
 
 

Liczby całkowite   definiują rozwiązania całkowite dodatnie równania (1).

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Feliks Klein: Elementarmathematik vom hoheren standpunkte aus erster band. Verlag von Julius Springer, 1924.

Linki zewnętrzneEdytuj