Traktrysa

Traktrysa, traktoria, wleczonakrzywa płaska, wzdłuż której porusza się mały obiekt wleczony przez ciągnącego po poziomej płaszczyźnie, przy pomocy nici o stałej długości. Ciągnący porusza się po linii prostej.

Opis matematycznyEdytuj

Przyjęto założenia, że poziomą prostą jest oś   i położenie początkowe obiektu oznaczone jest przez punkt   na osi   Za parametr   obrano kąt skierowany między osią   a wektorem   którego początkiem   jest punkt krzywej, zaś końcem   punkt „ciągnący”, poruszający się po osi  

Dla obiektu wleczonego przyjmującego pozycje   z przedziału   kreślona krzywa przyjmuje postać:

 

Odcinek stycznej, ograniczony punktem styczności   z krzywą i punktem   przecięcia z osią   ma stałą długość   Oznaczono przez   oraz   wartości współrzędnych punktu   zakreślającego traktrysę. Wtedy równania mają postać:

 
 
 

stąd

 

Równanie parametryczne traktrysy jest następujące:

 

gdy:

 

otrzymuje się całą traktorię, rozciągającą się w obie strony w nieskończoność i z każdej strony zbliżającą się do osi   Oś ta jest asymptotą traktrysy, oś   zaś osią jej symetrii.

 

W punkcie   a więc dla   istnieje punkt osobliwy (ostrze) krzywej.

Długość łuku traktrysy   wynosi:

 

zaś jej promień krzywizny:

 

Ewolutą traktrysy, a więc zbiorem wszystkich jej środków krzywizny, jest krzywa łańcuchowa. Obracając traktrysę wokół jej asymptoty dostanie się powierzchnię zwaną pseudosferą

Zobacz teżEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj