Otwórz menu główne

Transformacja Fouriera

przekształcenie matematyczne funkcji z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości

Definicje podstawoweEdytuj

Transformatę Fouriera[1] można określić dla funkcji   (gdzie   jest przestrzenią wektorową funkcji całkowalnych na  ) wzorem:

 

gdzie  jednostka urojona   a   jest iloczynem skalarnym wektorów   Transformacja Fouriera jest też oznaczana przez   wówczas transformata   jest oznaczana przez  

Transformata   jest funkcją istotnie ograniczoną:   (wynika to z twierdzenia Riemanna-Lebesgue’a).

W przypadku gdy funkcja   jest ponadto całkowalna z kwadratem (czyli  ), transformata   jest również całkowalna z kwadratem. Innymi słowy, transformacja Fouriera jest odwzorowaniem przestrzeni:

 

Twierdzenie Plancherela wówczas mówi, że odwzorowanie to przedłuża się do izometrii przestrzeni   na siebie. W wielu praktycznych zastosowaniach w przypadku jednowymiarowym przedłużenie to jest równoważne obliczeniu wartości głównej całki niewłaściwej zbieżnej:

 

Często przestrzeń   ogranicza się do przestrzeni funkcji szybko malejących w nieskończoności   – przestrzeni funkcji nieskończenie razy różniczkowalnych, dla których iloczyn dowolnej pochodnej cząstkowej i dowolnego wielomianu jest funkcją ograniczoną na   Ograniczona w ten sposób transformacja Fouriera jest również izometrią przestrzeni   na siebie.

W praktyce, często zmienna   oznacza czas (w sekundach), a argument transformaty   częstotliwość (w Hz=1/s). Funkcja   może być zrekonstruowana z   poprzez transformację odwrotną:

 

Alternatywne definicjeEdytuj

Stosowane są także inne definicje transformacji Fouriera.

1. Transformacja z dziedziny czasu   w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej)  

 

i transformacja odwrotna:

 

gdzie:

  – funkcja (oryginał) w dziedzinie czasu,
  transformata (widmo Fouriera) w dziedzinie pulsacji,
 pulsacją proporcjonalną do częstotliwości oscylacji  

2. Unitarna transformacja z dziedziny czasu   w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej)  

 

i transformacja odwrotna:

 

KomentarzEdytuj

  • Czynnik   przed transformacją i transformacją odwrotną występuje umownie – zamiast takiej postaci może występować czynnik   przed transformacją prostą, albo (częściej) przed transformacją odwrotną.
  • Jeżeli jednak czynnik wynosi   wtedy transformacja i transformacja odwrotna są izometriami przestrzeni  
  • Pierwsza z dwu powyższych definicji jest popularniejsza, nie posiada jednak własności unitarności.

Interpretacja i związek z transformatą Laplace’aEdytuj

Osobny artykuł: Transformacja Laplace’a.

W analizie Fouriera, krzywe harmoniczne sinus i cosinus (z wzoru Eulera mamy bowiem   zob. też szereg Fouriera) mnożone są przez sygnał i wynikowe całkowanie dostarcza wskazówki na temat sygnału obecnego dla danej częstotliwości (na przykład energii sygnału dla danego punktu w dziedzinie częstotliwości, zob. też widmo sygnału).

Podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze wykonuje transformacja ‘s’ (powszechnie określana mianem transformacji Laplace’a). Funkcja rzeczywista czasu może być przetransformowana na płaszczyznę S poprzez scałkowanie iloczynu takiej funkcji z wyrażaniem   w granicach od   do   gdzie   jest liczbą zespoloną.

 

Wyrażenie   ujmuje nie tylko częstotliwości, ale również rzeczywiste efekty   Transformacja ‘s’ uwzględnia więc nie tylko przebiegi częstotliwościowe, ale także efekty o charakterze zaniku. Na przykład krzywa sinusoidalna tłumiona może być odpowiednio zamodelowana za pomocą transformacji ‘s’. Transformata Laplace’a stanowi więc uogólnienie transformacji Fouriera. Ściślej przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace’a dla   Podobnie transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera.

Własności transformaty FourieraEdytuj

  • W przypadku jednowymiarowym funkcja   jest klasy   czyli jest całkowalna w przedziale  
  •   jest funkcją ciągłą. Nie musi natomiast być całkowalna w  
  • Jeśli   to  
  • Jeśli   i   to  
  •   gdzie operacja   oznacza splot funkcji f i g
  • Jeśli pochodna funkcji   należy do   i funkcja zeruje się poza pewnym przedziałem skończonym, to z całkowania przez części wynika, że:  

Właściwości transformatEdytuj

Funkcja Transformata Fouriera
unitarna, częstotliwość
Transformata Fouriera
unitarna, pulsacja (częstość kołowa)
Transformata Fouriera
pulsacja (częstość kołowa)
Uwagi
   

 

    

 

101         Liniowość
102         Przesunięcie oryginału w dziedzinie „czasu”
103         Przesunięcie widma w dziedzinie częstotliwości, dualne względem 102
104         Dla dużych wartości     zawęża się wokół zera, a   poszerza się i spłaszcza.
105
106         Transformata pochodnej
107         Ta właściwość jest dualna względem 106
108         Notacja   oznacza splot funkcji   i   – tę właściwość określamy jako twierdzenie o splocie
109         Właściwość dualna względem 108
110 Dla funkcji   rzeczywistej i parzystej     oraz  funkcjami rzeczywistymi i parzystymi.
111 Dla funkcji   rzeczywistej i nieparzystej     oraz  funkcjami urojonymi i nieparzystymi.

Najprzydatniejsze pary transformatEdytuj

W przestrzeniach funkcji dobrze określonych, takich jak   lub przestrzeń funkcji szybko malejących w nieskończoności   transformacja Fouriera przyporządkowuje wzajemnie jednoznacznie funkcji (oryginałowi) jej transformatę. Oryginał i jego transformata określana są wtedy jako para fourierowska.

Funkcje całkowalne z kwadratemEdytuj

W tabeli zestawiony jest oryginał oraz jego transformaty w dziedzinie częstotliwości i pulsacji[2].

Funkcja Transformata Fouriera
unitarna, częstotliwość
Transformata Fouriera
unitarna, pulsacja (częstość kołowa)
Transformata Fouriera
pulsacja (częstość kołowa)
Uwagi
   

 

 

 

 

 

201         Funkcja prostokątna i normalizowana funkcja sinc, definiowana jako  
202         Relacja dualna do 201. funkcja prostokątna jest filtrem dolnoprzepustowym, a funkcja sinc jest odpowiedzią impulsową dla takiego filtra.
203         Funkcja   jest funkcją trójkątną
204         Związek dualny względem 203.
205           jest funkcją skoku Heaviside’a,  
206         Funkcja Gaussa   jest funkcją własną przekształcenia Fouriera dla odpowiednio dobranego   Funkcja jest całkowalna dla  
207         Dla  
208    

   

 

   

 

   

  oznacza funkcję Bessela  -tego rzędu, pierwszego rodzaju.   to wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju. (patrz punkty 315 i 316 poniżej).
209         Secans hiperboliczny jest funkcją własną transformcji Fouriera

DystrybucjeEdytuj

Dystrybucje, określane też jako funkcje uogólnione nie posiadają transformat w sensie określonym przez powyższe definicje. Możliwe jest jednak uogólnienie pojęcia transformaty i przyjęcie, że uzyskujemy w wyniku przejścia do granicy ciągu transformat lub wychodząc od szeregu Fouriera funkcji okresowej.

Funkcja Transformata Fouriera
unitarna, częstotliwość
Transformata Fouriera
unitarna, pulsacja (częstość kołowa)
Transformata Fouriera
pulsacja (częstość kołowa)
Uwagi
   

 

 

 

 

 

301           oznacza deltę Diraca.
302         Co wynika z zasady 301.
303         Co wynika z własności 103 i 301.
304         Co wynika ze 101 i 303 przy zastosowaniu wzoru Eulera:  
305         Co wynika ze 101 i 303, przy zastosowaniu  
306        
307        
308         Gdzie   jest liczbą naturalną a   jest  -tą pochodną delty Diraca. Wynika to ze 107 i 301. Stosując tę formułę z 101, można transformować dowolne wielomiany.
309         Gdzie   to funkcja znaku. Zauważmy, że   nie jest dystrybucją. Własność przydatna w odniesieniu do transformaty Hilberta.
310         Uogólnienie 309.
311        
312         Dualne do 309.
313         Funkcja   jest funkcją Heaviside’a; to wynika ze 101, 301 i 312.
314         Funkcja grzebieniowa. Do wyznaczenia z 302 i 102, wraz z faktem, że   jako dystrybucje.
315           funkcją Bessela pierwszego rodzaju, rzędu zerowego.
316         Uogólnienie 315. Funkcja   jest funkcją Bessela  -tego rzędu, pierwszego rodzaju. Funkcja   jest wielomianem Czebyszewa pierwszego rodzaju.

Zastosowanie dla potrzeb przetwarzania sygnałówEdytuj

Osobny artykuł: Transmitancja widmowa.

Zależność określającą transmitancję widmową   można wyznaczyć:

Pojedyncza zespolona składowa harmoniczna o amplitudzie   pulsacji   i fazie  

 

(gdzie   oznacza jednostkę urojoną), generuje odpowiedź na wyjściu układu w postaci sygnału sinusoidalnego o amplitudzie   i fazie  

 

Warto zwrócić uwagę na fakt, że częstotliwość   pozostała taka sama, jedynie amplituda i faza sygnału uległy zmianie w układzie. Transmitancja   opisuje charakter tych zmian w całym spektrum częstotliwości (tj. dla każdej częstotliwości  ). Moduł transmitancji opisuje wzmocnienie układu:

 

a argument tej transmitancji opisuje przesunięcie fazowe wprowadzane przez układ:

 

Transmitancja  

Dla przypadku układów dyskretnych wyrażenie

 

definiuje dyskretną transmitancję widmową.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Hanna Marcinkowska: Dystrybucje, przestrzenie Sobolewa, równania różniczkowe. PWN, 1993, s. 56–60. ISBN 83-01-10864-9.
  2. David W. Kammler, A First Course in Fourier Analysis, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2000, ISBN 0-13-578782-3, OCLC 43118245.

Linki zewnętrzneEdytuj