Otwórz menu główne
Widok czasoprzestrzeni wzdłuż linii świata gwałtownie przyspieszającego obserwatora
Animacja transformacji Lorentza

Transformacja Lorentza (przekształcenie Lorentza) – przekształcenie liniowe przestrzeni Minkowskiego umożliwiające obliczenie wielkości fizycznych w poruszającym się układzie odniesienia, jeśli wielkości te znane są w danym układzie.

Przekształceniu Lorentza podlegają 4-wektory: 4-wektor położeń ciał w czasoprzestrzeni 4-wektor prędkości ciał w czasoprzestrzeni, 4-wektor energii-pędu, tensory pola elektrycznego i magnetycznego itd.

Bardziej ogólną transformacją czasoprzestrzeni jest transformacja Poincarego.

Spis treści

Transformacja współrzędnychEdytuj

W transformacji Galileusza niezmiennikami są oddzielnie odstęp czasowy zdarzeń oraz ich odległość w przestrzeni. Oznacza to, że odstęp czasu dwóch zdarzeń, zmierzony przez dwóch obserwatorów, poruszających się względem siebie, będzie taki sam. Podobnie odległość przestrzenna zdarzeń, zmierzona przez tych obserwatorów, będzie identyczna. Czas i przestrzeń są w klasycznej fizyce niezależne od siebie. Czas jest wielkością absolutną.

W transformacji Lorentza jest inaczej: zachowany jest interwał, tj. odległość zdarzeń w czasoprzestrzeni, podczas gdy upływ czasu i odległość między zdarzeniami zmierzone przez obserwatorów poruszających się względem siebie będą inne, zależne od prędkości. W ten sposób czas trwania tego samego zjawiska czy odległość przestrzenna są wielkościami względnymi, zależnymi od obserwatora.

Transformacje współrzędnych czasoprzestrzeni mają najprostszą postać wówczas, gdy odpowiadające sobie osie współrzędnych kartezjańskich inercjalnych układów odniesienia, nieruchomego   i poruszającego się   są do siebie wzajemnie równoległe, przy czym układ   porusza się ze stałą prędkością   wzdłuż osi   Jeśli ponadto jako początek odliczania czasu w obu układach   i   wybrany został moment, w którym początki osi współrzędnych   i   w obu układach pokrywają się, to transformacja Lorentza ma postać[1]:

 
 
 
 

gdzie:

 

lub

 
 

W powyższych wzorach   – prędkość światła w próżni.

Dla prędkości znacznie mniejszych od prędkości światła w próżni   i   transformacja Lorentza staje się równoważna z transformacją Galileusza. Oznacza to, że ta druga jest przybliżeniem transformacji Lorentza dla małych prędkości.

Zapis macierzowyEdytuj

Czterowektory – to wektory określone w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni; wektory te mają współrzędne, powstałe z rzutowania 4-wektora na osie układu; tradycyjnie współrzędnej czasowej (powstałej z rzutowania na oś czasu) nadaje się indeks   a trzem współrzędnym przestrzennym (powstałym z rzutowania wektora na osie przestrzenne) nadaje się indeksy   Przy takim wyborze wektor położenia zapisuje się w postaci

 

gdzie:

 

lub w skrócie

 

gdzie domyślnie indeks   przyjmuje wartości:  

W wartościach współrzędnych czterowektorów kryje się wybór konkretnego układu współrzędnych.

Aby uzyskać współrzędne dowolnego 4-wektora   w innym układzie, należy dokonać transformacji Lorentza, mnożąc „stary” wektor przez macierz Lorentza

 

co oznacza, że nowe współrzędne wyrażają się przez stare następująco (stosujemy konwencję sumacyjną Einsteina)

 

gdzie:

 
  – współrzędne wektora w oryginalnym układzie współrzędnych,
  – współrzędne wektora w nowym układzie współrzędnych,
  – elementy macierzy transformacji Lorentza między starym a nowym układem współrzędnych.

Tensorem metrycznym przestrzeni Minkowskiego jest macierz  

 

tj. składowe diagonalne są niezerowe,     a wszystkie inne zerują się.

Przekształcenie układu współrzędnych opisane macierzą   będzie transformacją Lorentza, gdy:

  • pozostawia niezmieniony tensor metryczny, tj. prawdziwe będzie poniższe równanie
 
  • wyznacznik macierzy   wynosi   tj.
 

Grupa Lorentza i PoincarégoEdytuj

W teorii względności rozważa się grupy transformacji Lorentza i Poincarégo. Przekształcenie będące automorfizmem w wektorowej czasoprzestrzeni Minkowskiego nazywane jest przekształceniem Lorentza. Odwzorowania takie tworzą grupę Lorentza. Przekształcenie będące automorfizmem w afinicznej czasoprzestrzeni Minkowskiego nazywane jest natomiast przekształceniem Poincarégo. Te tworzą grupę Poincarégo.

Podgrupy grupy LorentzaEdytuj

W grupie Lorentza można wyróżnić podgrupy:

  • jednorodne przekształcenia Lorentza: początek układu współrzędnych nie zmienia się; należą tu:
    • obroty w czasoprzestrzeni (wyznacznik macierzy przekształcenia Lorentza jest wtedy równy 1), przy czym wyróżnia się:
      • zwykłe obroty w przestrzeni 3D,
      • pchnięcia Lorentza, czyli właściwe transformacje Lorentza – to transformacje z danego układu do układu poruszającego się względem niego,
    • odbicia przestrzenne i inwersja czasu (wyznacznik macierzy przekształcenia Lorentza jest wtedy równy −1),
  • niejednorodne przekształcenia Lorentza – przekształcenia Lorentza zawierające translacje początku układu współrzędnych.

Pchnięcie LorentzaEdytuj

Pchnięcie Lorentza jest analogiem obrotu w czasoprzestrzeni Minkowskiego. W opisie przekształcenia stosuje się funkcje hiperboliczne. Interwał czasoprzestrzenny wyrażony poprzez takie funkcje okazuje się jednak tożsamy z klasyczną transformacją współrzędnych Lorentza, która wprowadza stałą względna prędkość jednego układu odniesienia względem tego, do którego współrzędne są transformowane. Ilustracja takiego przekształcenia na diagramie Minkowskiego nie może mieć sensu właściwego obrotu, gdyż osie nowego układu zbliżają się do siebie.

Interwał czasoprzestrzenny w czterowymiarowej czasoprzestrzeni jest sumą części czasowej – ta nie zmienia się przy transformacjach przestrzeni, oraz przestrzennej – niezmienność interwału dopuszcza transformacje przestrzenne polegające na obrotach, translacjach i odbiciach w przestrzeni. Można zatem na rozmaitości czasoprzestrzennej wyróżnić podgrupy: obrotów i translacji.

Wyprowadzenie zjawisk relatywistycznychEdytuj

Z transformacji Lorentza można wyprowadzić m.in. poniżej zestawione prawa.

Dodawanie prędkościEdytuj

Transformacja Lorentza prowadzi do prawa składania prędkości innego niż klasyczne prawo składania prędkości (które wynika z transformacji Galileusza), tj.

 

gdzie:

  – prędkość ciała względem układu  
  – prędkość tego samego ciała względem układu  
  – prędkość układu   względem układu  

Dyskusja wzoru:

(1) Dla małych prędkości   układów odniesienia   oraz   powyższy wzór sprowadza się do klasycznego prawa składania prędkości:

 

(2) Jeżeli rozważanym obiektem jest światło, które ma w jednym układzie prędkość   to w układzie   poruszającym prędkość światła będzie wynosić   czyli tyle samo, co w układzie   jest to zgodne z postulatem Einsteina, iż prędkość światła jest stała względem dowolnego inercjalnego układu odniesienia.

Skrócenie Lorentza-FitzgeraldaEdytuj

Ciało poruszające się względem obserwatora ma długość mniejszą niż to samo ciało, gdy mierzy się jego długość w układzie, w którym ciało to spoczywa.

Załóżmy, że ciało porusza się względem układu   z prędkością   Przez długość ciała   poruszającego się z prędkością   rozumiemy różnicę współrzędnych     dwóch skrajnych punktów tego ciała zmierzonych w tej samej chwili czasu   tj.

 

Z transformacji Lorentza wynikają związki między współrzędnymi     a współrzędnymi     tego ciała w układzie   względem którego ciało spoczywa, tj.

 
 

gdzie podstawiono   Odejmując stronami powyższe dwa równania otrzyma się:

 

Podstawiając

  – długość ciała spoczywającego,
  – długość ciała poruszającego się,

otrzyma się ostatecznie:

 

Wniosek: Ponieważ   więc

 

tj. ciało ma długość mniejszą względem obserwatora, względem którego jest w ruchu. Przy czym istotne jest nie tyle samo skrócenie, co fakt, iż

Długość jest wielkością względną: to samo ciało ma różne długości względem różnych obserwatorów; największą długość ma ciało dla obserwatora, względem którego ciało spoczywa.

Przykłady:

(1) Jeżeli   to   Ciało o długości spoczynkowej   m będzie miało długość   m, czyli około   cm.

(2) Bardzo szybkie protony przybywające na Ziemię mają tak duże prędkości, że dysk naszej Galaktyki, mający wg naszych pomiarów rozmiar około 100 000 lat świetlnych, ma w układzie tych protonów rozmiar kilku metrów!

Dylatacja czasuEdytuj

Odejmując wyrażenia na transformację Lorentza dla dwóch zdarzeń czasoprzestrzennych i definiując przyrosty czasu w każdym z układów odniesienia jako jednostki czasu mierzonego w danym układzie można uzyskać równanie:

 

We wzorze pojawia się dodatkowo różnica odległości w jednym z układów. Zinterpretowanie tej różnicy jako równej zeru powoduje, że porównuje się współrzędne czasowe wyłącznie jednego zdarzenia, ale w dwu układach odniesienia. Uzyskany wzór określa zatem dylatację czasu  

Pole magnetyczneEdytuj

W teoriach relatywistycznych skalar natężenia pola elektrycznego   i wektor natężenia pola magnetycznego   można połączyć w jeden czterowektor  

 

Rozważmy cząstkę skalarną naładowaną elektrycznie i pozostającą w bezruchu. W pewnej odległości od tej cząstki zarejestrujemy pole elektryczne i brak pola magnetycznego:

 
 

Załóżmy następnie, że naładowana cząstka się porusza, czyli zmieniamy układ współrzędnych na poruszający się względem pierwszego wzdłuż pierwszej osi z prędkością  

 
 

Czyli poruszający się ładunek generuje pole magnetyczne.

Czynnik   jest dla małych prędkości bliski jedności, więc w granicy małych prędkości transformacje Lorentza czterowektora pola elektrycznego sprowadzają się do praw Ampère’a i Biota-Savarta.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj