Transformacja Mellina

W matematyce transformacją Mellina nazywamy transformację całkową, którą można uznać za multiplikatywną wersję dwustronnej transformacji Laplace’a. Jest ona ściśle związana z teorią szeregów Dirichleta i jest często używana w teorii liczb i statystyce matematycznej; jest ściśle powiązany z transformacją Laplace’a i transformacją Fouriera oraz teorią funkcji gamma i pokrewnych funkcji specjalnych.

Transformacja ta została nazwana na cześć fińskiego matematyka Hjalmara Mellina.

DefinicjaEdytuj

Transformatą Mellina lokalnie całkowalnej funkcji   jest

 

Transformatą odwrotną jest

 

Powyższy zapis oznacza, że jest to całka krzywoliniowa liczona po pionowej prostej na płaszczyźnie zespolonej, której część rzeczywista   jest dowolna, o ile spełnia pewne określone warunki. Warunki, w których ta inwersja zachodzi, określa twierdzenie Mellina o inwersji.

Związek z innymi transformacjamiEdytuj

Dwustronną transformację Laplace’a można wyrazić z poprzez transformację Mellina wzorem

 

i odwrotnie możemy wyrazić transformację Mellina poprzez dwustronną transformację Laplace’a wzorem

 

Transformację Mellina można traktować jako całkowanie przy użyciu jądra   w stosunku do multiplikatywnej miary Haara,   która jest niezmiennicza na dylatację   czyli   dwustronna transformata Laplace’a całkuje względem addytywnej miary Haara   który jest niezmiennicza na przesunięcia, czyli  

Możemy również wyrazić transformację Fouriera z użyciem transformacji Mellina i dwustronnej transformaty Laplace’a:

 

Możemy również odwrócić ten proces i uzyskać

 

Transformacja Mellina może być również postrzegana jako transformacja Gelfanda na algebrze splotowej funkcji zespolonych określonych na lokalnie zwartej grupie abelowej dodatnich liczb rzeczywistych z mnożeniem.

PrzykładyEdytuj

Całka Cahena-MellinaEdytuj

Transformata Mellina funkcji o wzorze   jest równa

 

gdzie   oznacza funkcję gamma.   jest funkcją meromorficzną z biegunami rzędu pierwszego w   Tym samym   jest analityczna dla   Stąd, dla   i gałęzi głównej   transformata odwrotna daje

 

Powyższa całka jest znana jako całka Cahena-Mellina[1].

Funkcje wielomianoweEdytuj

Całka

 

nie jest zbieżna dla żadnej wartości   więc z tego powodu transformacja Mellina nie jest zdefiniowana dla funkcji wielomianowych zdefiniowanych na całej dodatniej półosi liczb rzeczywistych. Jeśli jednak tego typu funkcje będziemy jako zero na różnych odcinkach osi rzeczywistej, możemy obliczyć transformację Mellina. Na przykład jeśli

 

to

 

A zatem   ma biegun rzędu pierwszego w   i dlatego jest określone dla   Podobnie, jeśli

 

to

 

A zatem   ma biegun pierwszego rzędu w   i dlatego jest określone dla  

Funkcje wykładniczeEdytuj

Niech   i zdefiniujmy funkcję   wzorem   Wtedy

 

Funkcja dzetaEdytuj

Transformacji Mellina można użyć do wyprowadzenia jednego z podstawowych wzorów funkcji dzeta Riemanna. Niech   Wtedy mamy

 

Stąd

 

Uogólniona funkcja gaussowskaEdytuj

Niech   i rozważmy funkcję o wzorze   Wtedy

 

W szczególności podstawienie   daje następujący wzór na wartości funkcji gamma dla argumentów większych od 1:

 

Pas podstawowyEdytuj

Dla   niech otwarty pas   będzie zdefiniowany jako zbiór   takich, że   dla   oraz   Pas podstawowy funkcji   jest definiowany jako największy pas otwarty, na którym ta funkcja jest dobrze określona. Na przykład dla   pasem podstawowym funkcji danej wzorem

 

jest   Jak widać na tym przykładzie, tempo zbieżności funkcji przy   określa lewy kraniec jej pasa podstawowego, a tempo zbieżności funkcji przy   określa jej prawy kraniec. Możemy to podsumować, używając notacji dużego O: jeśli   jest   przy   i   przy   to   jest dobrze określona w pasku  [2].

Zastosowanie tego można zobaczyć w przypadku funkcji gamma,   Skoro funkcja dana wzorem   jest   przy   oraz   dla wszystkich   przy   to   jest dobrze określona w pasie   co potwierdza fakt, że funkcja gamma jest analityczna dla  

Transformacja Mellina jako izometria przestrzeni L2Edytuj

W badaniu przestrzeni Hilberta transformacja Mellina jest często ustawiana w nieco inny sposób. W przypadku funkcji z przestrzeni   (zobacz: przestrzeń Lp) pas podstawowy zawsze zawiera prostą   więc możemy zdefiniować operator liniowy   wzorem

 
 

Innymi słowy, rozważamy przekształcenie

 

Ten operator tak0e jest zwykle oznaczany   i również jest nazywany „transformacją Mellina”, w artykule jednak oznaczamy go   w celu odróżnienia od poprzednio definiowanej transformaty Mellina. Twierdzenie Mellina o inwersji stanowi, że   jest operatorem odwracalnym i operator odwrotny to:

 
 

Ponadto operator ten jest izometrią liniową, gdyż   dla wszystkich   Z tego powodu też w definicji wprowadzono współczynnik  

W rachunku prawdopodobieństwaEdytuj

W rachunku prawdopodobieństwa transformacja Mellina jest podstawowym narzędziem do badania rozkładów iloczynów zmiennych losowych. Jeśli   jest zmienną losową,   oznacza jej część dodatnią, a   jest jej częścią ujemną, to transformata Mellina zmiennej losowej   jest definiowana jako

 

gdzie   Tak zdefiniowana transformata istnieje dla wszystkich   w pewnym domkniętym pasie na płaszczyźnie zespolonej   gdzie   Powyższe całki są całkami Stieltjesa.

Transformacja Mellina   zmiennej losowej   jednoznacznie określa jej rozkład prawdopodobieństwa   Znaczenie transformaty Mellina w rachunku prawdopodobieństwa polega na tym, że jeśli   i   są dwiema niezależnymi zmiennymi losowymi, to transformata Mellina ich iloczynu jest równa iloczynowi transformat Mellina zmiennych   i  

 

Jest to wynik analogiczny do zagadnienia sumy niezależnych zmiennych losowych. Jeśli bowiem   i   są niezależnymi zmiennymi losowymi to funkcja charakterystyczna sumy tych zmiennych jest równa iloczynowi funkcji charakterystycznych:

 

PrzykładyEdytuj

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. G.H. Hardy, J.E. Littlewood. Contributions to the theory of the Riemann zeta-function and the theory of the distribution of primes. „Acta Mathematica”. DOI: 10.1007/BF02422942. 
  2. Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas. Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums. „Theoretical Computer Science”. 144 (1–2), s. 3–58, 1995. DOI: 10.1016/0304-3975(95)00002-e. 

BibliografiaEdytuj