Transformacja Z

Transformata Z, transformata Laurenta – jest odpowiednikiem transformaty Laplace’a stosowanym do opisu i analizy układów dyskretnych.

Tabela podstawowych transformacji Z.

Rys historycznyEdytuj

Zasadnicza idea transformaty znanej dziś jako transformata Z była znana jeszcze przez Pierre Simon de Laplace’a. W 1947 roku transformatę wprowadził ponownie Witold Hurewicz jako dogodną metodę rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. W 1952 roku John Ragazzini i Lofti Zadeh pracując z zagadnieniami układów dyskretnych w zespole na Columbia University nadali jej nazwę transformaty Z.

Nazwa tej transformaty może pochodzić od litery „z” jako dyskretnej wersji litery „s”, często używanej jako zmienna niezależna w transformacie Laplace’a, co wydaje się zasadne, jako że transformata Z jest w istocie dyskretną wersją transformaty Laplace’a. Inne możliwe pochodzenie to litery „z” w nazwiskach badaczy (Ragazzini, Zadeh), którzy opublikowali fundamentalny artykuł na jej temat. Tym niemniej nazwa odbiega od powszechnie przyjętej konwencji praktykowanej w świecie nauki, by do metod lub twierdzeń stosować nazwy związane z ich pierwszymi badaczami (na przykład transformata Fouriera, transformata Laplace’a, transformata Hartleya itp.).

Nieco później E.I. Jury[1] wprowadził i spopularyzował zmodyfikowaną transformatę Z.

Idea zawarta w transformacie Z w literaturze matematycznej znana jest jako metoda funkcji tworzących, którą to datuje się na rok 1730, kiedy to została wprowadzona przez Abrahama de Moivre’a w powiązaniu z teorią prawdopodobieństwa. Z matematycznego punktu widzenia transformatę Z można także traktować jako szereg Laurenta, gdzie występuje szereg liczb jako rozwinięcie (Laurenta) funkcji analitycznej.

DefinicjaEdytuj

Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu   jest nazywana funkcja:

 

określona wzorem:

 

gdzie:   – transformata oryginału;   – oryginał dyskretny;  

Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza; np. dla funkcji   lub   nie istnieją transformaty Z, ponieważ nie spełniają one powyższego warunku.

WłasnościEdytuj

LiniowośćEdytuj

 

Przesunięcie w dziedzinie czasuEdytuj

 
gdzie   – dowolna dodatnia liczba całkowita;  funkcja skokowa.

Transformata sumyEdytuj

 

Transformata różnicyEdytuj

 

SplotEdytuj

 

Twierdzenie o wartości początkowejEdytuj

 

Twierdzenie o wartości końcowejEdytuj

Jeśli istnieje granica,   to ma ona wartość:
 

Tabela transformatEdytuj

W poniższej tabeli przyjęto, że:

  •  
  •  
Lp.   transformata Z,   obszar zbieżności
1      
2      
3      
4      
5      
6      
7      
8      
9      
10      

PrzykładyEdytuj

Przykład 1Edytuj

Wyprowadź wzór na transformatę delty Kroneckera,  

Rozwiązanie

Dla przypomnienia, delta Kroneckera zdefiniowana jest następująco:

 

Korzystając z definicji otrzymujemy:

 

stąd:

 

Przykład 2Edytuj

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu   zdefiniowanego następująco:

 

Rozwiązanie

Zauważmy, że ciąg   można zapisać za pomocą następującego zwartego wzoru:

 

Zatem:

 
 

Po prawej stronie rozpoznajemy szereg geometryczny z ilorazem   Szereg jest zbieżny gdy   co oznacza, że:

 

Powyższa nierówność, nazywana jest obszarem zbieżności lub obszarem istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej   nierówność   jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu   Gdy   transformata istnieje (tj. rozważany wcześniej szereg jest zbieżny) i jest równa:

 

Przykład 3Edytuj

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu  

Rozwiązanie

Mając na uwadze poprzedni przykład możemy napisać:

 

Ciąg powyższy ma skończoną sumę gdy:

 

Powyższa nierówność jest obszarem zbieżności lub istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej   nierówność   jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu   Gdy   transformata istnieje i jest równa:

 

Przykład 4Edytuj

Wyprowadzić wzór na transformatę skoku jednostkowego  

Rozwiązanie

Korzystając z wyniku wyprowadzonego w poprzednim przykładzie, zauważamy, że:

  gdzie  

stąd:

 

Obszar zbieżności jest opisany nierównością  

Powiązanie z transformatą FourieraEdytuj

Transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. Dyskretna transformata Fouriera może być określona przez określenie wartości transformaty Z

  dla  

lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Aby określić charakterystykę częstotliwościową układu, wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.

Powiązanie z transformatą Laplace’aEdytuj

Osobny artykuł: Metoda Tustina.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Eliahu Ibrahim Jury: Theory and Application of the z-Transform Method. John Wiley & Sons, 1964.

BibliografiaEdytuj

  • Jacek Wojciechowski, Sygnały i systemy, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2008.
  • Michał Tadeusiewicz, Signals and Systems, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2004.
  • Przemysław Barański, Przekształcenie Z – zastosowania w filtracji cyfrowej sygnałów – zbiór zadań, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, 2014.