Otwórz menu główne

Transformacja naturalna

Transformacja naturalna – w teorii kategorii przekształcenie jednego funktora w drugi pełniące rolę homomorfizmu wyższego rzędu w kategorii funktorów.

DefinicjeEdytuj

Jeżeli   są kategoriami, a     są parą równoległych funktorów kowariantnych, to transformacją naturalną z   do   nazywamy rodzinę   morfizmów   kategorii   indeksowaną obiektami   taką, że dla dowolnego morfizmu   w   następujący diagram komutuje:

 

tzn.  [1][2]. Transformację taką oznaczamy symbolem   Morfizmy   nazywamy komponentami transformacji naturalnej  

Funktory   i   nazywamy naturalnie równoważnymi, gdy dla każdego   morfizm   jest izomorfizmem w kategorii  

Złożeniem transformacji naturalnych   i   jest transformacja naturalna   określona jako rodzina złożeń  

Analogicznie definiuje się transformacje naturalne multifunktorów, tzn. funktorów z produktu kategorii   do  

Jeżeli     jest parą równoległych funktorów kontrawariantnych, to definiujemy transformacje naturalne z   do   traktując   i   jako funktory kowariantne z kategorii   do  [3].

PrzykładyEdytuj

Niech   będzie kategorią przestrzeni liniowych   nad ciałem   i przekształceń liniowych   Przestrzeń sprzężona (dualna)   jest określona jako przestrzeń wszystkich funkcjonałów liniowych   Przyporządkowując każdemu wektorowi   przestrzeni   funkcjonał   na   należący do   określony wzorem   dla   otrzymujemy kanoniczny monomorfizm liniowy  [4]. Rodzina   jest transformacją naturalną funktora tożsamościowego   w funktor drugiej sprzężonej   określony przez przyporządkowanie obiektowe   Gdy ograniczymy się do podkategorii przestrzeni liniowych skończenie wymiarowych, otrzymujemy równoważność naturalną – tę, od której Eilenberg i MacLane zaczęli objaśnianie teorii kategorii.

Ogólniej, niech   oznacza kategorię przestrzeni wektorowych nad dowolnym ciałem   i niech   będzie ustalonym obiektem. Symbolem Hom(–, B) oznaczamy funktor kontrawariantny z   do   (zdefiniowany analogicznie do funktorów głównych kontrawariantnych), nadając zbiorom   zwykłą strukturę przestrzeni wektorowej. Złożenie tego funktora z samym sobą daje funktor kowariantny   z   do   Każdemu   przyporządkowujemy kanoniczne przekształcenie liniowe   z   w   którego szczególny przypadek omawialiśmy powyżej. Jest to transformacja naturalna funktora tożsamościowego na   w funktor  [5].

Niech   oznacza grupę liczb całkowitych (obiekt wolny o jednym generatorze w kategorii   grup abelowych). Funktor kowariantny   jest naturalnie równoważny funktorowi tożsamościowemu na   a komponentami tej transformacji naturalnej są homomorfizmy grup   określone jako   dla homomorfizmów  

Ze znanych własności produktów tensorowych grup abelowych (a także przestrzeni liniowych i modułów nad pierścieniami) wynika równoważność naturalna funktorów trzech zmiennych   i   gdzie   są symbolami tych zmiennych[3].

Bifunktor mnożenia kartezjańskiego z   do   który każdej parze obiektów   (zbiorów w  ) przyporządkowuje zbiór   a każdej parze morfizmów     przyporządkowuje odpowiadające im przekształcenie iloczynów kartezjańskich, jest naturalnie równoważny analogicznie zdefiniowanemu bifunktorowi   Odpowiednią transformację naturalną wyznaczają bijekcje   przyporządkowujące parze   parę   Podobnie ustala się naturalną równoważność funktorów trzech zmiennych o przyporządkowaniu obiektowym A×(B×C) → (A×B)×C[6].

Transformacją naturalną dla funktora   z kategorii zbiorów do kategorii monoidów jest operacja   która – mając daną listę – odwraca jej elementy:

 

Dla zbioru   komponent   jest funkcją odwracającą dowolną listę o elementach z  

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  • Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.
  • Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 48.

Linki zewnętrzneEdytuj