Ten artykuł od 2010-12 wymaga zweryfikowania podanych informacji: jaka jest dziedzina? .
Transformata Hilberta
g
^
(
t
)
{\displaystyle {\widehat {g}}(t)}
g
(
t
)
{\displaystyle g(t)}
g
^
(
t
)
=
1
π
∫
−
∞
∞
g
(
τ
)
t
−
τ
d
τ
,
{\displaystyle {\widehat {g}}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {g(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau ,}
g
(
t
)
=
−
1
π
∫
−
∞
∞
g
^
(
τ
)
t
−
τ
d
τ
.
{\displaystyle g(t)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\widehat {g}}(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau .}
Jest to splot funkcji
g
(
t
)
{\displaystyle g(t)}
h
(
t
)
=
1
π
t
.
{\displaystyle h(t)={\frac {1}{\pi t}}.}
Transformata Fouriera funkcji
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
H
(
ω
)
=
F
{
h
}
(
ω
)
=
−
j
⋅
sgn
(
ω
)
=
{
+
j
dla
ω
<
0
0
dla
ω
=
0
−
j
dla
ω
>
0
,
{\displaystyle H(\omega )={\mathcal {F}}\{h\}(\omega )=-j\cdot \operatorname {sgn}(\omega )={\begin{cases}+j&{\text{dla }}\omega <0\\0&{\text{dla }}\omega =0\\-j&{\text{dla }}\omega >0\end{cases}},}
gdzie
j
{\displaystyle j}
jednostkę urojoną .
Na podstawie zasady, że splotowi funkcji odpowiada mnożenie ich widm (w sensie transformat Fouriera), wynika z tego, że widmo transformaty Hilberta
s
^
(
t
)
{\displaystyle {\widehat {s}}(t)}
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
−
j
,
{\displaystyle -j,}
+
j
.
{\displaystyle +j.}
±
j
{\displaystyle \pm j}
±
{\displaystyle \pm }
amplitudy .
G
^
(
ω
)
=
F
{
h
}
(
ω
)
⋅
F
{
g
}
(
ω
)
=
−
j
⋅
sgn
(
ω
)
⋅
G
(
ω
)
=
{
+
j
⋅
G
(
ω
)
dla
ω
<
0
0
dla
ω
=
0
−
j
⋅
G
(
ω
)
dla
ω
>
0
.
{\displaystyle {\widehat {G}}(\omega )={\mathcal {F}}\{h\}(\omega )\cdot {\mathcal {F}}\{g\}(\omega )=-j\cdot \operatorname {sgn}(\omega )\cdot G(\omega )={\begin{cases}+j\cdot G(\omega )&{\text{dla }}\omega <0\\0&{\text{dla }}\omega =0\\-j\cdot G(\omega )&{\text{dla }}\omega >0\end{cases}}.}
Właściwości transformaty
edytuj
Transformata jest przekształceniem liniowym .
Sygnał
g
(
t
)
{\displaystyle g(t)}
Dwukrotnie transformując sygnał
g
(
t
)
{\displaystyle g(t)}
−
g
(
t
)
.
{\displaystyle -g(t).}
Sygnał
g
(
t
)
{\displaystyle g(t)}
Wybrane pary transformat Hilberta
edytuj
Sygnał
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
transformata Hilberta
u
^
(
t
)
{\displaystyle {\widehat {u}}(t)}
sin
(
t
)
{\displaystyle \sin(t)}
−
cos
(
t
)
{\displaystyle -\cos(t)}
cos
(
t
)
{\displaystyle \cos(t)}
sin
(
t
)
{\displaystyle \sin(t)}
1
t
2
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{t^{2}+1}}}
t
t
2
+
1
{\displaystyle {\frac {t}{t^{2}+1}}}
funkcja sinc
sin
(
t
)
t
{\displaystyle {\frac {\sin(t)}{t}}}
1
−
cos
(
t
)
t
{\displaystyle {\frac {1-\cos(t)}{t}}}
sygnał prostokątny
⊓
(
t
)
{\displaystyle \sqcap (t)}
1
π
ln
|
t
+
1
2
t
−
1
2
|
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\ln \left|{\frac {t+{\frac {1}{2}}}{t-{\frac {1}{2}}}}\right|}
delta Diraca
δ
(
t
)
{\displaystyle \delta (t)}
1
π
t
{\displaystyle {\frac {1}{\pi t}}}
funkcja charakterystyczna zbioru
χ
[
a
,
b
]
(
x
)
{\displaystyle \chi _{[a,b]}(x)}
1
π
log
|
x
−
a
x
−
b
|
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\log \left\vert {\frac {x-a}{x-b}}\right\vert }
Linki zewnętrzne
edytuj
![{\displaystyle \chi _{[a,b]}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82688aca72543377ed1ba94b915256000552e1ae)
