Twierdzenie Bézouta

Twierdzenie Bézoutatwierdzenie algebraiczne mówiące, iż pojęcie pierwiastka wielomianu odpowiada wprost pojęciu miejsca zerowego odpowiadającej mu funkcji wielomianowej. Polska nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Étienne’a Bézouta, choć twierdzenie o podzielności wielomianu przez dwumian nie zostało przez niego sformułowane ani udowodnione i było znane już wcześniej.

TwierdzenieEdytuj

Niech   będzie wielomianem zmiennej     funkcją wielomianową odpowiadającą temu wielomianowi.

Liczba   jest pierwiastkiem wielomianu   tzn. dwumian   dzieli bez reszty wielomian   wtedy i tylko wtedy, gdy   jest miejscem zerowym funkcji wielomianowej   czyli  

DowódEdytuj

Dostateczność

Jeśli   dzieli się przez   bez reszty, to istnieje taki wielomian   że   Wartość funkcji   w punkcie   wynosi

 

zatem   jest miejscem zerowym funkcji  

Konieczność

Wielomian   daje w dzieleniu przez dwumian   resztę   stopnia co najwyżej   w związku z tym można oznaczyć   Oznacza to, że

 

Skoro   to

 

a więc musi być   zatem

 

czyli dwumian   dzieli bez reszty wielomian   tzn.   jest pierwiastkiem  

WniosekEdytuj

Wartość   funkcji wielomianowej   w punkcie   jest równa reszcie z dzielenia wielomianu   przez dwumian  

Istotnie: dowód sugeruje, że jeżeli   jest resztą z dzielenia   przez   tzn. istnieje taki wielomian   że

 

to  

Przykład

Wielomian   w dzieleniu przez   daje wielomian   i resztę   Z powyższego wniosku wynika, że   gdyż

 

Zobacz teżEdytuj