Twierdzenie Banacha-Alaoglu

Twierdzenie Banacha-Alaoglu (także twierdzenie Alaoglu^[1], twierdzenie Banacha-Alaoglu-Bourbakiego lub twierdzenie Alaoglu-Bourbakiego) – w analizie funkcjonalnej twierdzenie mówiące, że domknięta kula jednostkowa w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej jest zwarta w *-słabej topologii; bądź ogólniej, zbiór polarny otoczenia zera przestrzeni liniowo-topologicznej jest *-słabo zwarty.

Nazwa twierdzenia honoruje polskiego matematyka Stefana Banacha, który opublikował jego szczególny przypadek (dla ośrodkowych przestrzeni unormowanych) w 1932 roku oraz kanadyjskiego matematyka Leonidasa Alaoglu, który opublikował w 1940 roku^[2] pierwszy dowód przypadku ogólnego^[3]^[4].

Twierdzenie Banacha-Alaoglu edytuj

Najczęściej stosowaną wersją twierdzenia Banacha-Alaoglu jest ta dotycząca zwartości kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej.

Dla przestrzeni unormowanych edytuj

Niech $X$ będzie przestrzenią unormowaną. Wówczas kula jednostkowa w przestrzeni $X^{*},$ tj. zbiór

B_{X^{*}}=\{f\in X^{*}:\|f\|\leqslant 1\},

jest zwarta w *-słabej topologii przestrzeni $X^{*}.$

Wersja ta jest bezpośrednią konsekwencją następującej wersji twierdzenia dla przestrzeni liniowo-topologicznych z uwagi na to, że norma w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej wyraża się wzorem:

\|f\|=\sup\{|\langle f,x\rangle |:x\in B_{X}\},

tj.

(B_{X})^{\circ }=B_{X^{*}}

w sensie notacji wprowadzonej niżej.

Dla przestrzeni liniowo-topologicznych edytuj

Niech $X$ będzie przestrzenią liniowo-topologiczną oraz niech $U$ będzie otoczeniem zera w $X.$ Wówczas zbiór

U^{\circ }=\{f\in X^{\star }:|\langle f,x\rangle |\leqslant 1,\,x\in U\}

jest zwarty w *-słabej topologii $X^{*}.$

Dowód^[5]. Dla każdego $f\in U^{\circ },$ obraz $f(U)$ zawiera się w kole domkniętym

D=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leqslant 1\}.

Każdemu funkcjonałowi $f\in U^{\circ }$ odpowiada zatem punkt $\psi (f)$ przestrzeni produktowej $G=D^{U},$ która jest zwarta na mocy twierdzenia Tichonowa. Ponieważ *-słaba topologia w $U^{\circ }$ jest topologią zbieżności punktowej na $U,$ wystarczy pokazać, że zbiór punktów $G$ odpowiadających funkcjonałom z $U^{\circ },$ tj. zbiór $\psi (U^{\circ }),$ jest domknięty. (Istotnie, domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty).

Niech $(f_{\gamma })$ będzie siecią elementów z $U^{\circ }$ o tej własności, że sieć $\psi (f_{\gamma })$ jest zbieżna punktowo do pewnego $F\in G.$ Jeżeli $x,y$ są takimi elementami $U$ oraz $a,b$ są takimi skalarami, że $ax+by\in U,$ to

{\begin{aligned}F(ax+by)&=\lim _{\gamma }\psi (f_{\gamma })(ax+by)\\&=\lim _{\gamma }\langle f_{\gamma },ax+by\rangle \\&=\lim _{\gamma }{\big (}a\langle f_{\gamma },x\rangle +b\langle f_{\gamma },y\rangle {\big )}\\&=aF(x)+bF(y).\end{aligned}}

Oznacza to, że $F$ odpowiada funkcjonałowi $f$ z $U^{\circ },$ tj. $F=\psi (f),$ co dowodzi domkniętości zbioru $\psi (U^{\circ })$ w $G.$

Twierdzenie Alaoglu-Bourbakiego edytuj

Istnieje również następująca abstrakcyjna wersja twierdzenia, nazywana czasem twierdzeniem Alaoglu-Bourbakiego^[6].

Niech $(X,Y)$ będzie parą dualną przestrzeni liniowo-topologicznych. Wówczas każdy podzbiór $Y$ złożony z $X$ -równociągłych elementów jest relatywnie zwarty w topologii $\sigma (Y,X).$

Twierdzenie Banacha-Alaoglu a aksjomat wyboru edytuj

Przedstawiony wyżej dowód opiera się o twierdzenie Tichonowa, a więc wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru. Halpern i Levy udowodnili^[7], że na gruncie teorii ZF następujące zdania są równoważne:

twierdzenie Banacha-Alaoglu,
BPI: każdy filtr w algebrze Boole’a jest zwarty w ultrafiltrze,
twierdzenie Tichonowa dla zwartych przestrzeni Hausdorffa,
produkt dowolnej rodziny kopii przedziału $[0,1]$ jest zwarty.

W szczególności, nie można zrezygnować z pewnej formy aksjomatu wyboru w dowodzie twierdzenia Banacha-Alaoglu, ale pełna siła tego aksjomatu nie jest wymagana.

Przypisy edytuj

↑ Musielak 1989 ↓, s. 219–221.
↑ L. Alaoglu, Weak topologies of normed linear spaces, „Ann. of Math” (2) 41, (1940), s. 252–267.
↑ Diestel 1984 ↓, s. 16.
↑ Megginson 1998 ↓, s. 229.
↑ Diestel 1984 ↓, s. 13–14.
↑ Wilansky 2013 ↓, s. 130.
↑ J.D. Halpern, A. Levy, The Boolean prime ideal theorem does not imply the axiom of choice, Axiomatic Set Theory Part 1, Proc. Symp. Pure Math. Vol. 13 (1971), 83–134.

Bibliografia edytuj

Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1984. ISBN 0-387-90859-5.
Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1989.
Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.
Albert Wilansky: Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, 2013.

[CITEREFMusielak1989219–221-1] Musielak 1989 ↓, s. 219–221.

[2] L. Alaoglu, Weak topologies of normed linear spaces, „Ann. of Math” (2) 41, (1940), s. 252–267.

[CITEREFDiestel198416-3] Diestel 1984 ↓, s. 16.

[CITEREFMegginson1998229-4] Megginson 1998 ↓, s. 229.

[CITEREFDiestel198413–14-5] Diestel 1984 ↓, s. 13–14.

[CITEREFWilansky2013130-6] Wilansky 2013 ↓, s. 130.

[7] J.D. Halpern, A. Levy, The Boolean prime ideal theorem does not imply the axiom of choice, Axiomatic Set Theory Part 1, Proc. Symp. Pure Math. Vol. 13 (1971), 83–134.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]