Twierdzenie Banacha-Steinhausa

Twierdzenie Banacha-Steinhausa (zasada jednostajnej ograniczoności) – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, w swym klasycznym sformułowaniu, że granica punktowa ciągu operatorów liniowych i jednakowo ciągłych między przestrzeniami Banacha jest ciągłym operatorem liniowym. Twierdzenie Banacha-Steinhausa można sformułować ogólniej, aby uwypuklić istotność założeń wersji klasycznej.

Pierwszy dowód twierdzenia przedstawili w 1927 roku Stefan Banach i Hugo Steinhaus[1].

Jednakowa ciągłośćEdytuj

Dalej   i   oznaczać będą ustalone przestrzenie liniowo-topologiczne. Rodzinę   przekształceń liniowych przestrzeni   w przestrzeń   nazywa się jednakowo ciągłą, gdy dla każdego otoczenia zera   istnieje takie otoczenie zera   że

 

dla każdego   W przypadku gdy   i  przestrzeniami unormowanymi, to rodzina   jest jednakowo ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy

 

Twierdzenie Banacha-SteinhausaEdytuj

Niech   będzie rodziną przekształceń liniowych przestrzeni   w przestrzeń   Jeżeli zbiór

 

jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni   to   jest rodziną jednakowo ciągłą oraz zbiór   jest całą przestrzenią.

WnioskiEdytuj

  • Twierdzenie Baire’a mówi, że przestrzenie metryczne zupełne są (w sobie) drugiej kategorii. Używając twierdzenia Baire’a, można udowodnić, że jeżeli   jest F-przestrzenią oraz dla każdego punktu   przestrzeni   zbiór   jest ograniczony, to   jest rodziną jednakowo ciągłą.
  • Jeżeli   jest F-przestrzenią oraz   jest ciągiem operatorów liniowych i jednakowo ciągłych określonych na przestrzeni   i o wartościach w przestrzeni   który jest punktowo zbieżny do przekształcenia   to przekształcenie   jest operatorem liniowym i ciągłym.
  • Twierdzenia Banacha-Steinhausa używa się do dowodu faktu, że każdy słabo ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej jest ograniczony (tzn. ograniczony w sensie wyjściowej topologii przestrzeni).

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj