Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym

Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym – twierdzenie podające warunek wystarczający na to, by ciągły operator liniowy działający między F-przestrzeniami (a więc w szczególności przestrzeniami Banacha) był odwzorowaniem otwartym.

Szczególny przypadek tego twierdzenia zwany jest twierdzeniem Banacha-Schaudera, a jednym z wniosków z tego twierdzenia jest twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym.

TwierdzenieEdytuj

Niech   będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi oraz   będzie operatorem liniowym i ciągłym. Jeżeli   jest F-przestrzenią oraz   jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni   to   jest odwzorowaniem otwartym,   oraz   jest F-przestrzenią.

WnioskiEdytuj

Niech   będą F-przestrzeniami oraz   będzie operatorem liniowym i ciągłym.

  • Twierdzenie Banacha-Schaudera
Jeśli   to   jest odwzorowaniem otwartym.
  • Twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym
Jeżeli   oraz   jest odwzorowaniem różnowartościowym, to   jest ciągłe.
  • Jeżeli   i   są przestrzeniami Banacha oraz   jest bijekcją, to istnieją takie dodatnie stałe rzeczywiste   że
  dla każdego  
  • Warunek wystarczający na równoważność norm zupełnych
Jeżeli   są przestrzeniami Banacha oraz dla każdego ciągu   punktów przestrzeni   spełniony jest warunek
 
to normy   i   są równoważne.
  • Jeżeli   są F-przestrzeniami oraz   to  

BibliografiaEdytuj