Otwórz menu główne
Ilustracja twierdzenia Bayesa przy pomocy dwóch nakładanych na siebie drzew decyzyjnych.

Twierdzenie Bayesa – twierdzenie teorii prawdopodobieństwa, wiążące prawdopodobieństwa warunkowe dwóch zdarzeń warunkujących się nawzajem, sformułowane przez Thomasa Bayesa. Twierdzenie stanowi podstawę teoretyczną wnioskowania bayesowskiego, oraz sieci bayesowskich stosowanych w eksploracji danych.

Wzór BayesaEdytuj

Twierdzenie (wzór) Bayesa w swej podstawowej formie mówi, że[1]

 
(B)

gdzie   i   są zdarzeniami oraz   przy czym

  •   oznacza prawdopodobieństwo warunkowe, tj. prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia   o ile zajdzie zdarzenie  
  •   oznacza prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia   o ile zajdzie zdarzenie  

DowódEdytuj

Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego

 

W przypadku, gdy   twierdzenie zachodzi, ponieważ wtedy   Załóżmy zatem, że   Wtedy

 

Stąd

 

Dzieląc stronami powyższą równość przez   otrzymujemy tezę.

Wersja twierdzenia dla wielu zdarzeńEdytuj

Niech   będą takimi zdarzeniami, że

     i     

Wtedy

 

W szczególności, gdy   jest dowolnym zdarzeniem oraz   to

 
(B2)

DowódEdytuj

Ze wzoru Bayesa (B) wynika, że

 

Jednocześnie

 

ZastosowaniaEdytuj

Przykład 1Edytuj

Niech   będzie zdarzeniem „u pacjenta występuje wysoka gorączka”, a   będzie zdarzeniem „pacjent ma grypę”. Jeśli znane są odsetek gorączkujących   i odsetek chorych na grypę   w całej populacji, oraz odsetek gorączkujących wśród chorych na grypę, tj.   to twierdzenie Bayesa pozwala wyznaczyć odsetek chorych na grypę wśród gorączkujących  

Na przykład jeżeli wiadomo, że   oraz   to na mocy wzoru (B):

 

Przykład 2Edytuj

Twierdzenia Bayesa można użyć do interpretacji rezultatów badania przy użyciu testów wykrywających narkotyki. Załóżmy, że przy badaniu narkomana test wypada pozytywnie w 99% przypadków, zaś przy badaniu osoby nie zażywającej narkotyków wypada negatywnie w 99% przypadków. Pewna firma postanowiła przebadać swoich pracowników takim testem, wiedząc, że 0,5% z nich to narkomani. Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba, u której test wypadł pozytywnie, rzeczywiście zażywa narkotyki. Oznaczmy następujące zdarzenia:

  •   – dana osoba jest narkomanem,
  •   – dana osoba nie jest narkomanem,
  •   – u danej osoby test dał wynik pozytywny,
  •   – u danej osoby test dał wynik negatywny.

Wiemy, że:

  •   gdyż 0,5% pracowników to narkomani,
  •  
  •   gdyż taką skuteczność ma test przy badaniu narkomana,
  •   gdyż taką skuteczność ma test przy badaniu osoby nie będącej narkomanem,
  •  

Mając te dane, chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba, u której test wypadł pozytywnie, rzeczywiście jest narkomanem. Ze wzoru (B2) wynika, że

 

Mimo potencjalnie wysokiej skuteczności testu, prawdopodobieństwo, że narkomanem jest badany pracownik, u którego test dał wynik pozytywny, jest równe około 33%, więc jest nawet bardziej prawdopodobnym, ze taka osoba nie zażywa narkotyków. Ten przykład pokazuje, dlaczego ważne jest, aby nie polegać na wynikach tylko pojedynczego testu.

Innymi słowy, pozorny paradoks polegający na dużej dokładności testu (99% wykrywalności narkomanów wśród narkomanów i nieuzależnionych wśród nieuzależnionych) i niskiej dokładności badania bierze się stąd, że w badanej próbie tylko niewielka część osób to narkomani.

Przykładowo jeśli badamy 1000 osób, 0,5% z nich, czyli 5 to narkomani, a 995 nie. Natomiast test wskaże jako narkomanów 1% nieuzależnionych (995 · 1% ≈ 10), oraz 99% uzależnionych (5 · 99% ≈ 5). Ostatecznie test wypadł pozytywnie dla 15 osób, jednak tylko 5 z nich to narkomani.

InterpretacjeEdytuj

Prawdopodobieństwo subiektywistyczneEdytuj

W interpretacji subiektywistycznej jest twierdzeniem wręcz podstawowym[2]. Otóż niech   będzie pewnym zdarzeniem,   zaś pewną teorią.

  jest obserwowanym prawdopodobieństwem zdarzenia   zaś   to prawdopodobieństwo, że zdarzenie   nastąpi według teorii   Z kolei   to prawdopodobieństwo, że teoria   jest prawdziwa,   to prawdopodobieństwo, że teoria   jest prawdziwa, jeśli zaobserwowano  

Zdania typu „prawdopodobieństwo, że teoria   jest prawdziwa” są z punktu widzenia interpretacji obiektywistycznej nie do przyjęcia – teoria jest prawdziwa (prawdopodobieństwo równe jedności) lub też nie (prawdopodobieństwo równe zeru), czyli prawdziwość teorii nie jest zdarzeniem losowym.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. A. Stuart, K. Ord: Kendall’s Advanced Theory of Statistics: Volume I – Distribution Theory. Edward Arnold, 1994, s. § 8.7.
  2. Aleksandra Kurek et al: Szkice do bayesowskiej metodologii współczesnej kosmologii. 2009. [dostęp 2017-01-19].

Linki zewnętrzneEdytuj