Otwórz menu główne

Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa

Twierdzenie Bolzana[a]-Weierstrassa – jeden z podstawowych wyników w analizie matematycznej. Mówi ono, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg zbieżny. We współczesnym ujęciu oznacza to, że domknięte i ograniczone podzbiory prostej rzeczywistej są ciągowo zwarte. Twierdzenie to jest bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia Heinego-Borela, głoszącego, że podzbiór prostej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest on domknięty i ograniczony oraz z równoważności zwartości ze zwartością ciągową w przestrzeniach metryzowalnych.

Twierdzenie było najpierw udowodnione przez czeskiego matematyka Bernarda Bolzana, ale jego praca pozostała niezauważona. Twierdzenie było później ponownie odkryte i udowodnione przez niemieckiego matematyka Karla Weierstrassa.

TwierdzenieEdytuj

Z każdego ograniczonego ciągu liczb rzeczywistych   można wybrać podciąg zbieżny, tzn. można wybrać rosnący ciąg indeksów   tak, że ciąg   jest zbieżny.

Dowód 1.Edytuj

Załóżmy, że   jest ciągiem liczb rzeczywistych,   oraz   dla wszystkich   Indukcyjnie wybieramy liczby   oraz liczby naturalne   tak że dla każdego   mamy

  •      
  •    
  •  
  • zbiór   jest nieskończony.

Pierwszy warunek powyżej definiuje   Przypuśćmy że wybraliśmy już   tak, że wymagania sformułowane powyżej są spełnione. Niech   Jeśli zbiór   jest nieskończony, to połóżmy     i wybierzmy   tak że   Jeśli zbiór   jest skończony, to wtedy zbiór   musi być nieskończony. W tym wypadku deklarujemy że     i wybieramy   tak że  

Po przeprowadzeniu powyższej konstrukcji zauważamy że ciąg   jest ciągiem Cauchy’ego, a więc wobec zupełności prostej rzeczywistej jest on zbieżny.

Dowód 2.Edytuj

Załóżmy, że   jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych i niech       i niech  

Niech teraz   będzie rodziną podprzedziałów przedziału   indeksowaną skończonymi ciągami zerojedynkowymi określoną wzorami:

  oraz   i  

gdzie  

 

Łatwo zauważyć, że długość przedziału   równa jest   gdzie   jest długością ciągu   oraz dla dowolnych dwóch    

 

wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg   jest początkiem ciągu  

Łatwo też widać, że istnieje nieskończony rosnący ciąg indeksów   dla którego każdy z przedziałów     zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu  

Niech teraz   oraz   Wówczas   jest ściśle rosnący oraz  

Pokażemy, że ciąg   jest zbieżny do   gdzie  

Niech zatem   i niech   będzie takie, że   oraz niech   będzie takie, że  

Biorąc teraz   mamy:

 

Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu   do  

Dowód 3.Edytuj

Niech   będzie takim ciągiem jak do tej pory, niech     i niech  

Niech dalej   oraz niech   jeśli zbiór   jest nieskończony oraz   w przeciwnym wypadku. Wykażemy indukcyjnie, że przedziały   zawierają nieskończenie wiele elementów ciągu  

Ponieważ dla   mamy   baza indukcji jest prawdziwa.

Załóżmy zatem, że dla pewnego   przedział   zawiera nieskończenie wiele elementów ciągu   Jeśli zbiór   jest nieskończony, to   i wówczas   czyli zawiera nieskończenie wiele elementów rozważanego ciągu.

Jeśli zbiór   nieskończony nie jest, to musi być nieskończony   na mocy założenia indukcyjnego i wówczas   oraz   co dopełnia dowód kroku indukcyjnego.

Niech teraz   i niech     jest podciągiem ciągu   Ciąg   jest rosnący i ograniczony, więc posiada supremum   Pokażemy, że  

Niech w tym celu   i niech   będzie takie, że   oraz niech   będzie takie, że  

Biorąc teraz   mamy:

 

Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu   do  

Zauważmy, że   jest także granicą ciągów   oraz  

Wniosek: twierdzenie WeierstrassaEdytuj

Prawie bezpośrednio z twierdzenia Bolzana-Weierstrassa wynika następujące twierdzenie, nazywane często twierdzeniem Weierstrassa.

SformułowanieEdytuj

Jeśli   jest funkcją ciągłą, to jej obraz jest zbiorem ograniczonym. Ponadto funkcja   osiąga swoje kresy, tzn. dla pewnych liczb   mamy

 

DowódEdytuj

Pokażemy najpierw, że obraz funkcji   jest ograniczony. Ponieważ każdy z przedziałów funkcji   dla   jest zbiorem otwartym, a   jest ciągła, to otwarte (w zbiorze  ) są zbiory   Rodzina   pokrywa przedział   więc ze zwartości tego ostatniego, istnieją   dla których   Wówczas, jak łatwo widać, dla dowolnego   mamy   gdzie   co oznacza, że   jest funkcją ograniczoną.

Oznaczmy kres górny obrazu   przez  

  i istnieje ciąg   punktów przedziału   dla których ciąg   jest zbieżny do   Z twierdzenia Bolzana-Weierstrassa wiemy, że istnieje podciąg   ciągu   zbieżny do pewnej granicy   Wtedy na mocy ciągłości funkcji   otrzymujemy   A więc wartość funkcji   w punkcie   jest kresem górnym obrazu   (a więc także   dla wszystkich  ).

W analogiczny sposób pokazujemy istnienie liczby   dla której  

UwagaEdytuj

Założenie zwartości (domkniętości i ograniczoności) dziedziny funkcji (odcinka  ) jest istotne. Na przykład funkcja   jest ciągła, ale nie jest ograniczona. Podobnie   nie jest ograniczona, mimo że dziedzina – cała prosta – jest domknięta.

UwagiEdytuj

  1. W literaturze niemal wyłącznie występuje błędna tj. nieodmieniona forma pierwszego nazwiska: Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.

BibliografiaEdytuj

  • Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1973.
  • G.M. Fichtenholtz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1972.
  • W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: PWN, 1976.