Twierdzenie Carathéodory’ego (teoria miary)

Twierdzenie Carathéodory’egotwierdzenie teorii miary umożliwiające konstrukcję miary w oparciu o daną miarę zewnętrzną; bywa ono stosowane do konstrukcji miary Lebesgue’a z miary zewnętrznej Lebesgue’a. Twierdzenie to zostało udowodnione przez Constantina Carathéodory’ego w 1914 roku[1].

TwierdzenieEdytuj

Niech   będzie niepustym zbiorem oraz

 

będzie funkcją, dla której

 

gdzie   oznacza zbiór potęgowy zbioru  

Mówi się, że zbiór   spełnia warunek Carathéodory’ego (względem  ), gdy dla każdego zbioru   zachodzi równość

 

Wówczas rodzina   podzbiorów   które spełniają warunek Carathéodory’ego względem   jest algebrą zbiorów, a   będąca zawężeniem   do   jest miarą skończenie addytywną (tzn. jest addytywna). Co więcej, jeśli   jest miarą zewnętrzną (tzn. jest również monotoniczna i przeliczalnie podaddytywna), to   jest σ-algebrą oraz   zawężona do rodziny   jest miarą (tzn. jest przeliczalnie addytywna), która jest zupełna.

DowódEdytuj

Dowód składa się z pięciu części. Wykorzystuje on standardowe techniki, szeroko stosowane w teorii miary. Pierwsze dwa kroki mają na celu wykazanie, iż   jest algebrą, zaś   jest addytywna; trzeci i czwarty gwarantują – przy założeniu, iż   jest miarą zewnętrzną – że rodzina   jest zamknięta ze względu na sumy przeliczalnie wielu zbiorów, a   jest σ-addytywna, tzn.   jest σ-algebrą, a   określoną na niej miarą. W ostatnim kroku dowodzi się zupełności miary  

AlgebraEdytuj

Należenie zbioru pustego
Zbiór pusty spełnia warunek Carathéodory’ego, ponieważ z założenia   oraz
 
dla każdego   zawartego w  
Zamkniętość ze względu na dopełnienia
Warunek Carathéodory’ego jest niezmienniczy względem brania dopełnienia, tzn. jeśli   spełnia warunek Carathéodory’ego, to spełnia go również  .
Zamkniętość ze względu na sumy skończone
Niech   oraz   należą do   oraz   będzie dowolnym podzbiorem   Zachodzą równości
 
oraz
 
Z tożsamości   oraz   oraz założenia, że   spełnia warunek Carathéodory’ego wynika, iż
 
skąd
 
Dowodzi to, że   spełnia warunek Carathéodory’ego, a zatem należy do  

Addytywność zawężeniaEdytuj

Dla danych zbiorów rozłącznych   i   należących do   zachodzi równość

 

Pokazuje to, że zawężenie   do rodziny   jest addytywną funkcją zbiorów.

σ-algebraEdytuj

Niżej zakłada się, że   jest miarą zewnętrzną.

Niech   będzie przeliczalną rodziną zbiorów należących do   oraz niech   będzie dowolnym podzbiorem zbioru   Utwórzmy przeliczalne rodziny  ,   następująco:

 
 

oraz wprowadźmy oznaczenie

 

Zbiory   są parami rozłączne i zachodzi oczywista równość

 

Dla każdego   zachodzi inkluzja   skąd   Korzystając z monotoniczności   otrzymujemy oszacowanie

 

Z faktu, że każdy zbiór   spełnia warunek Carathéodory’ego, wnioskujemy, że dla   prawdziwa jest tożsamość

 

Na mocy zasady indukcji matematycznej, równość

 

zachodzi dla wszystkich   Ostatecznie,

 

Wykonując przejście graniczne, otrzymujemy oszacowanie

 

Z przeliczalnej podaddytywności   wynika nierówność

 

Łącząc otrzymane związki i korzystając ponownie z przeliczalnej podaddytywności   uzyskujemy zależność

 

MiaraEdytuj

Niżej zakłada się, że   jest miarą zewnętrzną.

Niech   będzie przeliczalną rodziną parami rozłącznych zbiorów należących do   Niech ponadto   będzie sumą wszystkich zbiorów   Z addytywności i monotoniczności   wynika, że dla dowolnego   zachodzi równość

 

Wykonując przejście graniczne, otrzymujemy oszacowanie

 

Przeliczalna podaddytywność   daje nierówność w drugą stronę.

ZupełnośćEdytuj

Niżej zakłada się, że   jest miarą zewnętrzną.

Należy wykazać, że każdy podzbiór   zbioru   spełniający warunek   należy do   Niech   będzie dowolnym podzbiorem zbioru   Wówczas

 

Niech   będzie podzbiorem zbioru   spełniającym warunek   oraz niech   będzie dowolnym podzbiorem zbioru   Z monotoniczności   wynika, że   a więc   Ostatecznie,   należy do rodziny  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. C. Carathéodory, Über das lineare Mass von Punktmengen, eine Verallgemeinerung des Längenbegriffs. „Nachr. Gesell. Wiss. Göttingen” (1914), s. 404–426.

BibliografiaEdytuj