Otwórz menu główne

Twierdzenie Carathéodory’ego (teoria miary)

Twierdzenie Carathéodory’egotwierdzenie teorii miary umożliwiające konstrukcję miary w oparciu o daną miarę zewnętrzną; bywa ono stosowane do konstrukcji miarę Lebesgue’a z miary zewnętrznej Lebesgue’a. Twierdzenie to zostało udowodnione przez Constantina Carathéodory’ego w 1914 roku[1].

TwierdzenieEdytuj

Niech   będzie niepustym zbiorem oraz

 

będzie funkcją, dla której

 

gdzie   oznacza zbiór potęgowy zbioru  

Mówi się, że zbiór   spełnia warunek Carathéodory’ego (względem  ), gdy dla każdego zbioru   zachodzi równość

 

Wówczas rodzina   podzbiorów   które spełniają warunek Carathéodory’ego względem   jest algebrą zbiorów, a   będąca zawężeniem   do   jest miarą skończenie addytywną (tzn. jest addytywna). Co więcej, jeśli   jest miarą zewnętrzną (tzn. jest również monotoniczna i przeliczalnie podaddytywna), to   jest σ-algebrą oraz   zawężona do rodziny   jest miarą (tzn. jest przeliczalnie addytywna), która jest zupełna.

DowódEdytuj

Dowód składający się z pięciu części jest standardową techniką, szeroko stosowaną w teorii miary. Pierwsze dwa kroki mają na celu wykazanie, iż   jest algebrą, zaś   jest addytywna; trzeci i czwarty gwarantują – przy założeniu, iż   jest miarą zewnętrzną – że rodzina   jest zamknięta ze względu na sumy przeliczalnie wielu zbiorów, a   jest σ-addytywna, tzn.   jest σ-algebrą, a   określoną na niej miarą. Ostatni krok stanowi o zupełności miary  

AlgebraEdytuj

Należenie zbioru pustego
Zbiór pusty spełnia warunek Carathéodory’ego, ponieważ z założenia   oraz
 
dla każdego   zawartego w  
Zamkniętość ze względu na dopełnienia
Spełnianie warunku Carathéodory’ego jest symetryczne ze względu na dopełnienia, tzn. jeśli   spełnia warunek Carathéodory’ego, to również   spełnia warunek Carathéodory’ego. Wynika stąd, że rodzina   jest zamknięta ze względu na branie dopełnień.
Zamkniętość ze względu na sumy skończone
Niech   oraz   należą do   oraz   będzie dowolnym podzbiorem   Zachodzą równości
 
oraz
 
Z tożsamości   oraz   oraz założenia, że   spełnia warunek Carathéodory’ego wynika, iż
 
skąd
 
Dowodzi to, że   spełnia warunek Carathéodory’ego, a zatem należy do  

Addytywność zawężeniaEdytuj

Dla danych zbiorów rozłącznych   i   należących do   zachodzi równość

 

Pokazuje to, że zawężenie   do rodziny   jest addytywną funkcją zbiorów.

σ-algebraEdytuj

Niżej zakłada się, że   jest miarą zewnętrzną.

Niech   będzie przeliczalną rodziną zbiorów należących do   oraz niech   będzie dowolnym podzbiorem zbioru   Niech ponadto

 

oraz

 

Ponieważ każdy ze zbiorów   jako skończna suma zbiorów z   spełnia warunek Carathéodory’ego, więc

 

Dla każdego   zachodzi inkluzja   skąd   Z monotoniczności   wynika więc, że

 

Z warunku Carathéodory’ego spełnianego przez   wynika, iż

 

co na mocy indukcji zapewnia, że

 

Ostatecznie,

 

Ponieważ wzór ten zachodzi dla wszystkich   więc z przeliczalnej podaddytywności   wynika, że

 

skąd

 

a stąd

 

MiaraEdytuj

Niżej zakłada się, że   jest miarą zewnętrzną.

Niech   będzie przeliczalną rodziną zbiorów należących do   Niech podnato   będzie takie jak wcześniej, tj.   jest sumą wszystkich zbiorów   Z addytywności i monotoniczności   wynika, że dla dowolnego   zachodzi równość

 

a więc w granicy

 

Przeliczalna podaddytywność   daje nierówność w drugą stronę, skąd ostatecznie wypływa wniosek

 

ZupełnośćEdytuj

Niżej zakłada się, że   jest miarą zewnętrzną.

Należy wykazać, że każdy podzbiór   zbioru   spełniający warunek   należy do   Niech   będzie dowolnym podzbiorem zbioru   Wówczas

 

Niech   będzie podzbiorem zbioru   spełniającym warunek   oraz niech   będzie dowolnym podzbiorem zbioru   Z monotoniczności   wynika, że   a więc   Ostatecznie,   należy do rodziny  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. C. Carathéodory, Über das lineare Mass von Punktmengen, eine Verallgemeinerung des Längenbegriffs. „Nachr. Gesell. Wiss. Göttingen” (1914), s. 404–426.

BibliografiaEdytuj