Otwórz menu główne

Twierdzenie Cauchy’ego (teoria wyznaczników)

twierdzenie w teorii wyznaczników

Twierdzenie Cauchy’egotwierdzenie przypisywane Cauchy’emu, podające wzór na wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych.

Spis treści

TwierdzenieEdytuj

Niech   będą macierzami kwadratowymi ustalonego stopnia nad tym samym pierścieniem przemiennym (ciałem), wówczas wyznacznik ich iloczynu jest równy iloczynowi ich wyznaczników, czyli prawdziwy jest wzór

 

DowódEdytuj

  • Niech
 
 
  • Korzystając z własności wyznacznika macierzy klatkowej:  
  • Wykonując operacje elementarne na macierzy   sprowadzimy ją do postaci  
Pomnóżmy pierwszą kolumnę macierzy   przez element   drugą kolumnę przez   trzecią przez   n-tą przez   a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+1. Otrzymamy następującą macierz:
 
Pomnóżmy pierwszą kolumnę powyższej macierzy przez element   drugą kolumnę przez   trzecią przez   n-tą przez   a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+2. Otrzymamy następującą macierz:
 
Wykonując dalej analogiczne czynności otrzymamy macierz:
 
  • Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika, więc  
  • Korzystając z własności wyznacznika macierzy klatkowej mamy:  
  jest zawsze parzyste, więc  
  •   Co kończy dowód twierdzenia.

WnioskiEdytuj

  •  
  • Jeżeli   jest macierzą odwracalną, wówczas jest ona także nieosobliwa. Ponieważ   oraz   to   i dalej   a stąd   Słownie: wyznacznik macierzy odwrotnej do danej jest równy odwrotności wyznacznika tej macierzy.
  • Wyznaczniki macierzy podobnych są równe, niech   oraz   będą takimi macierzami, wtedy
     

BibliografiaEdytuj