Twierdzenie Cayleya

Twierdzenie Cayleya – twierdzenie mówiące, że dowolna abstrakcyjna grupa jest w rzeczywistości pewną grupą przekształceń zbioru, na którym została ona określona. Jest to więc podgrupa grupy symetrycznej tego zbioru. Twierdzenie to pozwala przełożyć wszystkie wyniki dotyczące grup symetrycznych na grupy abstrakcyjne. Autorem twierdzenia jest Arthur Cayley

TwierdzenieEdytuj

Każda grupa zanurza się izomorficznie w grupie symetrycznej pewnego zbioru[1]. W szczególności, każda grupa skończona rzędu   zanurza się izomorficznie w grupie symetrycznej  [2].

DowódEdytuj

Wykażemy, że każda grupa   jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy permutacji   zbioru  

Niech   będzie dowolnym elementem grupy   i niech   będzie odwzorowaniem takim, że:   gdzie  

Odwzorowanie   jest przekształceniem różnowartościowym, bowiem   Ponadto dla dowolnego   istnieje element   taki, że   Takim elementem jest   Czyli   jest przekształceniem grupy   na siebie, tzn.  

Zauważmy jeszcze, że dla   zachodzi   dla dowolnego  

Stąd   i zbiór odwzorowań   jest grupą, w której   jest elementem neutralnym oraz  

Określmy teraz odwzorowanie   w następujący sposób:

  dla  

Jest ono iniektywne, bowiem   a z udowodnionej wcześniej własności wynika, że   jest homomorfizmem, bo  

Stąd   jest zanurzeniem izomorficznym grupy   w grupę  

q.e.d.[3]

Zdefiniowany w dowodzie izomorfizm   nazywa się niekiedy reprezentacją regularną   Powyższe rozumowanie jest dowodem na to, iż działanie   grupy   na sobie przez mnożenie z lewej strony jest wierne.

HistoriaEdytuj

Burnside[4] przypisuje to twierdzenie Jordanowi[5], jednak Eric Nummela[6] uważa, że nazwa twierdzenie Cayleya jest właściwsza. Dziś sens twierdzenia wydaje się oczywisty, jednak to dopiero Cayley’owi udało się zunifikować dwa różne – jak wówczas uważano – pojęcia, tzn. pojęcie grupy i pojęcie grupy permutacji. I mimo że sam Cayley w swojej pracy[7] nie wykazał homomorfizmu, jego zasługi w upowszechnieniu tych pojęć na 16 lat przed Jordanem są niepodważalne.

PrzypisyEdytuj

  1. Gleichgewicht 2004 ↓, s. 258, Twierdzenie 13.1.
  2. Gleichgewicht 2004 ↓, s. 259, Wniosek 13.1.
  3. Gleichgewicht 2004 ↓, s. 258-259, Twierdzenie 13.1 – Dowód.
  4. William Burnside, Theory of Groups of Finite Order, wyd. 2 ed., Cambridge, 1911, ISBN 0-486-49575-2.
  5. Camille Jordan, Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris: Gauther-Villars, 1870.
  6. Eric C. Nummela, Cayley’s Theorem for Topological Groups, „American Mathematical Monthly”, 87 (3), Mathematical Association of America, 1980, s. 202–203, DOI10.2307/2321608, JSTOR2321608 (ang.).
  7. Arthur Cayley, On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1, „Philosophical Magazine”, 7 (42), 1854, s. 40–47.c?

BibliografiaEdytuj