Twierdzenie Cevy

twierdzenie geometrii płaskiej

Twierdzenie Cevytwierdzenie geometrii płaskiej sformułowane i udowodnione przez matematyka włoskiego Giovanniego Cevę w 1678 roku. Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe i także zostało udowodnione przez Cevę. Jego uogólnieniem jest twierdzenie Ponceleta.

Przypadek 1.: trzy proste mają wspólny punkt O wewnątrz ABC
Przypadek 2.: trzy proste mają wspólny punkt O na zewnątrz ABC

TreśćEdytuj

Dany jest trójkąt   oraz punkty   Jeżeli trzy proste   i   przecinają się w jednym punkcie lub są równoległe, to:

 

Na drugim z rysunków będących ilustracjami twierdzenia widać, iż punkt przecięcia się prostych   może leżeć poza trójkątem.

DowódEdytuj

Przyjmijmy, że:

 

Wtedy:

 

oraz

 

Z tego wynika, że

 

Analogicznie:

 
 

Zatem:

 

Po skróceniu otrzymujemy:

 

ale

 

więc:

 

Twierdzenie odwrotneEdytuj

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Cevy jest prawdziwe przy dodatkowym założeniu, że proste     i   nie są równoległe. Załóżmy, że punkty     i   spełniają powyższe równanie. Na mocy dodatkowego założenia bez straty ogólności można założyć, że prosta   nie jest równoległa do prostej   Niech   i   przecinają się w   i niech   przecina   w   Z udowodnionej przed chwilą implikacji,

 

Z porównania dwóch ostatnich równań jest

 

Po dodaniu jedynki do obu stron i wykorzystaniu równości   zachodzi

 

A więc   czyli   i   pokrywają się (ponieważ na wspólnej półprostej   o początku w  ). A więc     i   przecinają się w  

ZastosowaniaEdytuj

Twierdzenie Cevy i doń odwrotne mają wiele zastosowań w geometrii. Na przykład za pomocą twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy można łatwo dowieść, że w każdym trójkącie w jednym punkcie przecinają się wysokości, środkowe, dwusieczne (są to tzw. proste Cevy)

Twierdzenie Cevy dla czworościanu[1]Edytuj

Niech   oznaczają punkty czworościanu   leżące odpowiednio wewnątrz odcinków   Załóżmy, że płaszczyzny   przecinają się w jednym punkcie. Wówczas zachodzi równość:

 

Dowód polega na zauważeniu, że punkt przecięcia płaszczyzn leży zarówno na prostej   jak i   które są przecięciami dwóch z tych płaszczyzn. Stąd wynika, że   leżą na jednej płaszczyźnie, a z twierdzenia Menelaosa dla czworościanu – teza.

Twierdzenie odwrotne, mówiące że jeśli spełniona jest równość

 

to płaszczyzny   przecinają się w jednym punkcie, jest również prawdziwe.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 252–253. ISBN 83-86007-63-X.