Twierdzenie Cevy (trygonometryczne)

Wersja trygonometryczna twierdzenia Cevy pozwala na pokazanie, że proste Cevy w trójkącie przecinają się w jednym punkcie, gdy mamy pewne dane o kątach, ale nie mamy danych o tym, w jakim stosunku te proste dzielą boki trójkąta.

Ceva's theorem trygonometric.png

TreśćEdytuj

Jeżeli proste Cevy       w trójkącie   przecinają się w jednym punkcie, to przy oznaczeniach kątów jak na rysunku zachodzi równość:

 

DowódEdytuj

Z twierdzenia Cevy mamy:

 

Z twierdzenia sinusów mamy:

 

oraz

 
  (kąty przyległe),

więc

 

Podobnie

 
 

Mnożąc stronami, dostajemy

 

Twierdzenie odwrotneEdytuj

Jeżeli proste Cevy spełniają przy oznaczeniach jak na rysunku

 

to przecinają się w jednym punkcie.

DowódEdytuj

Dowód prowadzimy korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy i analogicznie za pomocą zależności

 
 
 

sprowadzamy równość

 

do postaci trygonometrycznej

 

ZastosowaniaEdytuj

Za pomocą twierdzenia można łatwo udowodnić, że w każdym trójkącie w jednym punkcie przecinają się dwusieczne, symediany, wysokości, środkowe. Nie znaczy to jednak, że punkty przecięcia np. wysokości i symetralnych są tym samym punktem. Taki przypadek występuje tylko w trójkącie równobocznym.

Zobacz teżEdytuj