Twierdzenie Darboux

twierdzenie analizy matematycznej
Nie mylić z: twierdzeniem o wartości średniej.

Twierdzenie Darbouxtwierdzenie analizy rzeczywistej noszące nazwisko Jeana Darboux, które zapewnia o tym, że każda rzeczywista funkcja ciągła ma własność Darboux; w szczególności: każda funkcja ciągła określona na przedziale rzeczywistym przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między obrazami krańców przedziału. Stąd pochodzi inna nazwa twierdzenia, mianowicie twierdzenie o przyjmowaniu wartości pośrednich lub krócej twierdzenie o wartości pośredniej; z twierdzeniem wiążą się również nazwiska Bernarda Bolzana i Augustina Louisa Cauchy’ego (nazwy twierdzenie Bolzana-Cauchy’ego lub twierdzenie Cauchy’ego nie zdobyły popularności w polskiej literaturze matematycznej).

TwierdzenieEdytuj

Niech   będzie funkcją ciągłą. Jeżeli   (tzn. wartości funkcji   na końcach przedziałów mają różne znaki), to istnieje taki punkt   w przedziale   dla którego

 

Ogólniej: każda funkcja ciągła   ma własność Darboux, tzn. jeśli   oraz   spełnia jedną z nierówności   lub   to istnieje taki punkt   w przedziale   dla którego

 

Oba sformułowania są równoważne: funkcje   w obu z nich różnią się jedynie o stałą  

DowodyEdytuj

Analityczny z definicji Cauchy’ego ciągłościEdytuj

Niech   Bez straty ogólności można założyć, że   jest liczbą z przedziału otwartego  

Niech

 
 

Wówczas zbiory   i   są niepuste. Zbiór A posiada ograniczenie górne, którym jest   więc isnieje na mocy aksjomatu ciągłości   Dla danych   oraz   oznaczmy

 

Wykażemy, że   Istotnie, wobec ciągłości funkcji, właściwości supremum oraz rozłączności zbiorów   i   spełnione są następujące ciągi implikacji:

 
 

Zatem poprzez sprzeczność dowodzi się, że nie jest możliwym aby  

Analityczny z definicji Heinego ciągłościEdytuj

Niech   będzie funkcją oraz niech   będzie liczbą z przedziału otwartego   Zastosujmy rozumowanie analogiczne do metody równego podziału.

Zdefiniujmy indukcyjnie ciągi      

  •  
  • jeśli   to koniec dowodu,
    jeśli   to    
    jeśli   to    
     

Tak zdefiniowane ciągi   mają następujące własności:

  1.  
  2.  
  3.  

Z własności 1. 2. wynika, że ciągi   jako monotoniczne i ograniczone są zbieżne i maję tę samą granicę. Oznaczmy

 

Na podstawie ciągłości funkcji   ciągi   są zbieżne, mają tę samą granicę oraz

 

Jednocześnie z własności 3. wynika zachowanie nierówności przy przejściu granicznym, tzn.

 

Stąd

 

TopologicznyEdytuj

Niech   będzie funkcją oraz niech   będzie liczbą z przedziału otwartego   Przypuśćmy, że   nie jest wartością funkcji   Wówczas przeciwobraz przestrzeni topologicznej   powinien być równy dziedzinie (którą tutaj jest przedział  ), jednak wobec ciągłości funkcji będzie on sumą dwóch niepustych, rozłącznych, otwartych przeciwobrazów, a zatem przestrzenią niespójną, co wyklucza się z faktem spójności drogowej dziedziny. Wobec czego poprzez sprzeczność dowodzi się, że   nie może nie być wartością funkcji.

Przedstawione rozumowanie wiąże się z twierdzeniem o szerszym zakresie mówiącym, że ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym. Przykładem funkcji ciągłej o niespójnym zbiorze wartości i niespójnej dziedzinie jest signum, tj. funkcja   określona na zbiorze liczb rzeczywistych bez zera  [1][2][3].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Wyd. 4. Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa, 1996. ISBN 83-01-02846-7. (pol.), Rozdział 4. Ciągłość. Ciągłość i spójność Tw. 4.22 str. 80.
  2. Krzysztof Maurin: Analiza. Część I Elementy. Wyd. 3. Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa, 1976. ISBN 83-01-02846-7. (pol.) Rozdział II. Przestrzenie Metryczne, odwzorowania ciągłe. § 10. Przestrzenie spójne. Tw.II.17 str. 47.
  3. I. Dziubiński, T. Świątkowski: Poradnik matematyczny Część 2. Wyd. IV. Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa, 1985. ISBN 83-01-04121-8. (pol.) Rozdział XXI. Elementy Topologii. § 1. Przestrzeń topologiczna. 1.10. Zbiór spójny, zbiory rozgraniczone, składowa zbioru str. 528.

BibliografiaEdytuj