Otwórz menu główne

Twierdzenie Dieudonnégo-Grothendiecka

Twierdzenie Dieudonnégo-Grothendiecka – twierdzenie charakteryzujące ograniczone miary wektorowe określone na σ-ciałach. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwisk matematyków: Jeana Dieudonnégo i Alexandra Grothendiecka.

TwierdzenieEdytuj

Niech   będzie σ-ciałem podzbiorów pewnego zbioru     będzie przestrzenią Banacha oraz niech   będzie podzbiorem przestrzeni sprzężonej, którego elementy rozdzielają punkty w   Jeżeli   jest taką funkcją rzeczywistą na   że dla każdego   złożenie   jest ograniczoną i skończenie addytywną funkcją zbiorów, to   jest miarą wektorową o ograniczonym półwahaniu.

DowódEdytuj

Z założenia, że funkcjonały w   rozdzielają punkty w   wynika, że   jest miarą wektorową. By wykazać, że   jest ograniczona, używając twierdzenia Nikodyma o ograniczoności, wystarczy udowodnić, że dla każdego funkcjonału   złożenie   jest ograniczoną funkcją zbiorów. Niech

 

gdzie   oznacza wahanie miary. Zbiór   jest podprzestrzenią liniową przestrzeni   Z założenia,   a więc podprzestrzeń   jest gęsta w   w *-słabej topologii. Na mocy twierdzenia Krejna-Szmuljana wystarczy pokazać, że zbiór

 

jest *-słabo domknięty, gdyż wówczas cała przestrzeń   będzie taka, a ponieważ jest ona *-słabo gęsta,  

Niech   Wówczas

 

Z twierdzenia Nikodyma o ograniczoności wynika, że

 

Niech   będzie siecią elementów zbioru   zbieżną *-słabo do pewnego funkcjonału   Wówczas   Ponadto

 

dla wszystkich   Oznacza to, że

 

tj.  [1].

PrzypisyEdytuj

  1. Diestel, Uhl 1977 ↓, s. 16–17.

BibliografiaEdytuj

  • Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.