Otwórz menu główne

Twierdzenie Gaussa-Wantzela

Liczby boków dla wszystkich wielokątów foremnych dających się skonstruować cyrklem i linijką, mniejsze od tysiąca:
3=20×3
4=22
5=20×5
6=21×3
8=23
10=21×5
12=22×3
15=20×3×5
16=24
17=20×17
20=22×5
24=23×3
30=21×3×5
32=25
34=21×17
40=23×5
48=24×3
51=20×3×17
60=22×3×5
64=26
68=22×17
80=24×5
85=20×5×17
96=25×3
102=21×3×17
120=23×3×5
128=27
136=23×17
160=25×5
170=21×5×17
192=26×3
204=22×3×17
240=24×3×5
255=20×3×5×17
256=28
257=20×257
272=24×17
320=26×5
340=22×5×17
384=27×3
408=23×3×17
480=25×3×5
510=21×3×5×17
512=29
514=21×257
544=25×17
640=27×5
680=23×5×17
768=28×3
771=20×3×257
816=24×3×17
960=26×3×5

Twierdzenie Gaussa-Wantzela – twierdzenie geometrii euklidesowej, które mówi, że -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki, jeżeli jest liczbą postaci gdzie są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Jak dotąd (2019) znane jest tylko 5 liczb pierwszych Fermata: i nie wiadomo, czy jest ich więcej.

W szczególności we wzorze może być (wielokąty o liczbie boków będącą potęgą dwójki są konstruowalne) lub (twierdzenie obejmuje także wielokąty o nieparzystej liczbie boków). Tak więc, konstruowalne są m.in. pięciokąt i sześciokąt foremny ale już nie siedmiokąt.

HistoriaEdytuj

W starożytności matematycy potrafili konstruować za pomocą cyrkla i linijki  -kąty foremne dla   postaci   i  

W roku 1796 Gauss skonstruował siedemnastokąt foremny[1], a w roku 1801 udowodnił, że warunek podany w twierdzeniu jest wystarczający dla przeprowadzenia konstrukcji. Przypuszczał też, że jest to warunek konieczny, jednak dowodu nie podał. W roku 1837 wykazał to Pierre Wantzel.

257-kąt foremny skonstruowano w 1832 roku. Sposób konstrukcji klasycznej 65537-kąta foremnego po raz pierwszy opublikował nauczyciel gimnazjum Johann Gustav Hermes w 1894. Sama konstrukcja zajmuje 200 stron, Hermes pracował nad nią przez 10 lat.

Związek z trójkątem PascalaEdytuj

Jedynymi znanymi konstruowalnymi wielokątami foremnymi o nieparzystej liczbie boków są te, których liczba boków jest dzielnikiem   tj. 1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257,..., 4294967295 (z wyjątkiem 1). William Watkins zauważył, że liczby tego ciągu zapisane w systemie binarnym, znajdują się w pierwszych 32 wierszach trójkąta Pascala mod 2:

         1 = 1
         3 = 11
         5 = 101
        15 = 1111
        17 = 10001
        51 = 110011
        85 = 1010101
       255 = 11111111
       257 = 100000001
       771 = 1100000011
      1285 = 10100000101
      3855 = 111100001111
      4369 = 1000100010001
     13107 = 11001100110011
     21845 = 101010101010101
     65535 = 1111111111111111
     65537 = 10000000000000001
    196611 = 110000000000000011
    327685 = 1010000000000000101
    983055 = 11110000000000001111
   1114129 = 100010000000000010001
   3342387 = 1100110000000000110011
   5570645 = 10101010000000001010101
  16711935 = 111111110000000011111111
  16843009 = 1000000010000000100000001
  50529027 = 11000000110000001100000011
  84215045 = 101000001010000010100000101
 252645135 = 1111000011110000111100001111
 286331153 = 10001000100010001000100010001
 858993459 = 110011001100110011001100110011
1431655765 = 1010101010101010101010101010101
4294967295 = 11111111111111111111111111111111

Następny wiersz w tym ciągu, 4294967297, jest kolejną liczbą Fermata: F5 = 232 + 1. Ponieważ jednak nie jest ona liczbą pierwszą (4294967297 = 641 · 6700417), nie można skonstruować wielokąta foremnego o takiej liczbie boków.

PrzypisyEdytuj

  1. Konstrukcja jest przedstawiona na stronie [1].

BibliografiaEdytuj

  • Witold Więsław: Matematyka i jej historia. Opole: Wydawnictwo NOWIK, 1997. ISBN 83-905456-7-5.
  • John H. Conway, Richard K. Guy: Księga liczb. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1999. ISBN 83-204-2366-X.