Otwórz menu główne

Twierdzenie Goodsteinatwierdzenie teorii liczb sformułowane przez Goodsteina w 1944 roku dotyczące pewnej własności ciągów liczb naturalnych. Mimo że sformułowanie twierdzenia jest czysto arytmetyczne i względnie nieskomplikowane, twierdzenie to jest niezależne od aksjomatyki Peana, co udowodnili[1] w 1982 roku Jeff Paris i Laurie Kirby.

Popularne sformułowanieEdytuj

  • Wybierzmy liczbę naturalną m(0), na przykład 1077:
 
 
  • Dokonajmy takiego przedstawienia wszystkich liczb występujących w powyższym zapisie, aby każda z nich była wyrażona wyłącznie w postaci potęg liczby 2:
 
  • Zamieńmy w powyższym wyrażeniu wszystkie liczby 2 na liczbę 3:
 
  • przyjmijmy że   czyli:
 
  • w wyrażeniu m(1) dokonajmy zamiany liczby 3 na 4 i odejmijmy 1; dostajemy w ten sposób m(2)
  • kontynuujemy postępowanie, m(3) otrzymamy zamieniając 4 na 5 i odejmując 1.
  • otrzymując ciąg liczbowy m(i) gdzie i=1,2... jest liczbą naturalną.

Twierdzenie Goodsteina: tak otrzymany ciąg zmierza do zera.

Jednak jak łatwo się przekonać pierwsze N wyrazów ciągu, gdzie N jest pewną bardzo dużą liczbą zależną od m(0), rośnie bardzo szybko. Pośrednie wyrazy dla liczby 1077 osiągają wartości rzędu   i więcej, aby w końcu dać w wyniku 0. Jak się okazuje, nie można tego faktu dowieść w ramach systemu formalnego arytmetyki Peana, jest to zatem nietrywialny przykład twierdzenia ciekawego matematycznie i zarazem niedowiedlnego na gruncie teorii liczb naturalnych. Dowód tego twierdzenia jest oparty na arytmetyce liczb porządkowych.

PrzypisyEdytuj

  1. Laurie Kirby, Jeff Paris. Accessible independence results for Peano arithmetic. „Bull. London Math. Soc.”. 14 (1982), no. 4. s. 285–293. 

BibliografiaEdytuj