Otwórz menu główne

Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku.

Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej.

TwierdzenieEdytuj

Niech

(a)   będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych
(b)   będzie funkcjonałem podaddytywnym i dodatnio jednorodnym, tzn.
  dla wszystkich  
  dla wszystkich   i  
(c)   będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni  
(d)   będzie takim odwzorowaniem liniowym, że
  dla wszystkich  

Wówczas istnieje taki funkcjonał liniowy   że

 

dla wszystkich   oraz

 

dla wszelkich  

Uwagi o dowodzieEdytuj

  • Zwykle dowód twierdzenia Hahna-Banacha jest budowany przy użyciu lematu Kuratowskiego-Zorna, choć niektórzy autorzy podają dowody indukcyjne (dowody podane przez Hahna w 1927 i Banacha w 1929 roku były właśnie indukcyjne).
  • Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego[1], więc każdy dowód twierdzenia Hahna-Banacha wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.
  • Aksjomat o wyborach zależnych wystarczy dla dowodu twierdzenia Hahna-Banacha dla przestrzeni ośrodkowych. Twierdzenie o rozszerzaniu filtrów do ultrafiltrów wystarczy do udowodnienia twierdzenia Hanha-Banacha w pełnej ogólności, ale to ostatnie twierdzenie nie implikuje, że każdy filtr jest zawarty w filtrze maksymalnym.

WnioskiEdytuj

  • Jeżeli   jest rzeczywistą przestrzenią liniową, a funkcjonał   spełnia warunek (b), to dla każdego   istnieje taki funkcjonał liniowy   że   oraz   dla  
  • Załóżmy, że
(a)   jest przestrzenią liniową nad ciałem   liczb rzeczywistych lub zespolonych, a   jest półnormą
(b)   jest podprzestrzenią liniową, oraz   jest funkcjonałem liniowym takim, że
  dla wszystkich  
Wówczas istnieje funkcjonał liniowy   taki, że   oraz
  dla wszystkich  
  • Jeśli   jest przestrzenią unormowaną,   jest jej podprzestrzenią liniową oraz   to istnieje   taki, że
  oraz  
  • Twierdzenie o wydobywaniu normy: Jeśli   jest niezdegenerowaną przestrzenią unormowaną oraz   to   dla pewnego   takiego, że   Ponadto
 
  • Jeśli   jest przestrzenią unormowaną,   jest jej domkniętą podprzestrzenią liniową oraz   to istnieje   taki, że
  oraz  

Modyfikacje twierdzenia Hahna-BanachaEdytuj

Idea przedłużania odwzorowań z podprzestrzeni na całą przestrzeń z zachowaniem pewnych szczególnych własności, zawarta w twierdzeniu Hahna-Banacha, została przeniesiona także na inne przypadki przestrzeni czy odwzorowań. Na przykład:

Twierdzenie KrejnaEdytuj

Niech   będzie stożkiem wypukłym w rzeczywistej przestrzeni liniowo-topologicznej   o niepustym wnętrzu. Jeżeli   jest podprzestrzenią liniową przestrzeni   oraz   jest funkcjonałem liniowym takim, że

 

to istnieje funkcjonał liniowy   taki, że

 

oraz

 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Janusz Pawlikowski, The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. „Fundamenta Mathematicae” 138 (1991).

BibliografiaEdytuj

  • William Arveson, The Noncommutative Hahn-Banach theorems, [1].
  • Mark Aronovich Naimark, Normed Rings, Wolters-Noordhoff, Groningen 1970, s. 63.
  • Gerd Wittstock, Ein operatorwertiger Hahn-Banach Satz, J. Funct. Anal. 40 (1981), s. 127–150.