Twierdzenie Heinego-Cantora

Twierdzenie Heinego-Cantora – nazwane na cześć Heinricha Heinego oraz Georga Cantora twierdzenie mówiące że każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła.

DowódEdytuj

Niech   będzie funkcją ciągłą działającą z przestrzeni zwartej   w przestrzeń metryczną   Ustalmy  

Z ciągłości   dla każdego   istnieje liczba   taka, że   dla każdego   z kuli  

Na mocy zwartości   z pokrycia   można wybrać podpokrycie skończone  

Niech   Wówczas na mocy nierówności trójkąta dla dowolnych   takich, że   istnieje punkt   taki, że   ponadto:  

To dowodzi, że   jest jednostajnie ciągła[1].  

HistoriaEdytuj

Według opracowania Rusnocka i Kerra-Lawsona, Heine opublikował pierwszą definicję jednostajnej ciągłości (1870) i dowód twierdzenia (1872), nie przypisując sobie oryginalności. Zbliżone konstrukcje występowały implicite już wcześniej, m.in. u Bolzano i Dirichleta[2]. Koncepcje Heinego rozwijały się w tym obszarze w tandemie ze współczesnymi im publikacjami Cantora[3].

PrzypisyEdytuj

  1. Anthony William Knapp, Basic real analysis, wyd. 2, Boston: Birkhäuser, 2005, s. 112, ISBN 978-0-8176-4441-3, OCLC 262679895 [dostęp 2019-06-18].
  2. Paul Rusnock, Angus Kerr-Lawson, Bolzano and uniform continuity, „Historia Mathematica”, 32 (3), 2005, s. 303–311, DOI10.1016/j.hm.2004.11.003 [dostęp 2019-06-18] (ang.).
  3. Akihiro Kanamori, Cantor and Continuity, in press, 1 maja 2018.

Linki zewnętrzneEdytuj

Inne dowody: