Twierdzenie Jegorowa

Twierdzenie Jegorowatwierdzenie teorii miary mówiące, że każdy ciąg mierzalnych rzeczywistych funkcji prawie wszędzie skończonych określonych na wspólnej przestrzeni z miarą skończoną, który jest zbieżny prawie wszędzie do prawie wszędzie skończonej funkcji mierzalnej, jest do niej zbieżny prawie jednostajnie. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Dimitrija Jegorowa. Littlewood wypowiedział nieformalnie twierdzenie Jegorowa w następujący sposób: zbieżne ciągi funkcji są nieomal jednostajnie zbieżne (tj. prawie jednostajnie zbieżne; zob. trzy zasady analizy rzeczywistej Littlewooda)[1].

DowódEdytuj

Niech   będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz   będzie ciągiem prawie wszędzie skończonych funkcji mierzalnych określonych na   zbieżnym prawie wszędzie do prawie wszędzie skończonej funkcji mierzalnej   Niech ponadto dla dowolnych liczb naturalnych   i   zdefiniowany będzie zbiór

 

Przy dowolnych liczbach naturalnych   i   zachodzi zawieranie  

Ciąg   jest zbieżny prawie wszędzie do   skąd dla każdego  

 

Z powyższego wynika, że dla każdej liczby   istnieje taka liczba naturalna   (zależna od   i  ), że dla każdego   spełniona jest nierówność

 

Zbiór

 

jest mierzalny oraz

 

Z udowodnionej nierówności wynika, że ciąg funkcyjny   jest jednostajnie zbieżny do funkcji   na zbiorze   oraz że  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications, Inc., 1982, ​ISBN 0-486-64062-0​, s. 36–37.
  • John Littlewood, Lectures on the Theory of Functions. Oxford University Press, 1944.