Twierdzenie Kroneckera-Capellego

twierdzenie algebry liniowej

Twierdzenie Kroneckera–Capellego[a]twierdzenie algebry liniowej dające kryterium istnienia rozwiązań układu równań liniowych i umożliwiające ich klasyfikację (która, opisana w niniejszym artykule jako „wniosek”, jest często przytaczana w samym twierdzeniu); stanowi ono uogólnienie opisu rozwiązań układu równań liniowych jednorodnych zawartego w twierdzeniu o rzędzie na przypadek niejednorodny.

Jako pierwszy miał je udowodnić Georges Fontené (co zaznaczył w swoim piśmie do Nouvelles Annales de Mathématiques z listopada 1875 roku)[1], przed Eugènem Rouchém, który opublikował wcześniej w 1875 roku pierwszą wersję twierdzenia[2], a następnie pełniejszą w 1880 roku[3]. Gdy Ferdinand Georg Frobenius powoływał się na to twierdzenie w swoich pracach[4], przypisywał je Rouchému i Fontenému. Alfredo Capelli miał być pierwszym, który wyraził to twierdzenie w języku macierzy (za pomocą pojęcia rzędu)[5]. Wersja Leopolda Kroneckera pojawiła się w jego wykładach o teorii wyznaczników[6].

Polska nazwa twierdzenia (stosowana również m.in. w Rosji) nosi nazwiska Kroneckera i Capellego, choć we Włoszech przypisuje się je Rouchému i Capellemu, a we Francji wynik ten nazywa się twierdzeniem Rouchégo-Fontenégo; w Hiszpanii znane jest ono jako twierdzenie Rouchégo-Frobeniusa, najprawdopodobniej za sprawą hiszpańsko-argentyńskiego matematyka Julia Reya Pastora, który określał je w ten sposób.

TwierdzenieEdytuj

Niech dany będzie układ równań liniowych   gdzie rząd macierzy   typu   (co oznacza, że   jest liczbą niewiadomych, a   określa liczbę równań) wynosi   z macierzą rozszerzoną   rzędu   Układ ten ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy  

Wniosek

Ponieważ zbiór rozwiązań układu zależy od   parametrów w sposób afiniczny (tworzy przestrzeń afiniczną tego wymiaru), to w przypadku   rozwiązanie układu wyznaczone jest jednoznacznie (zerowymiarowa przestrzeń opisuje punkt). Jeśli układ jest jednorodny, to zbiór rozwiązań zależy od   parametrów w sposób liniowy (tworzy przestrzeń liniową tego wymiaru) i wtedy jednoznaczność rozwiązania oznacza jego trywialność, tj.  

DowódEdytuj

Niech   będą wektorami odpowiadającymi kolejnym kolumnom macierzy   zaś wektorom kolumnowym   odpowiadają wektory   oraz   Wektor   jest rozwiązaniem układu wtedy i tylko wtedy, gdy   co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy   należy do powłoki liniowej   co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wymiar tej powłoki nie zwiększa się po dodaniu do niej wektora   tj.   Wynika stąd, że przestrzeń wektorów kolumnowych macierzy   oraz   mają równe wymiary, co oznacza równość rzędów tych macierzy.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Spotykana forma nazwiska Cappellego, mianowicie „Capelliego” jest błędna, co wyjaśnia Słownik ortograficzny języka polskiego wraz z zasadami pisowni i interpunkcji (wydany w 1981 przez PWN) na stronie 137.

PrzypisyEdytuj

  1. Dot. pracy „Twierdzenie do rozważań o układzie   równań pierwszego rzędu o   niewiadomych”, Théorème pour la discussion d’un système de   équations du premier degré à   inconnues. „Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale”. 2 (14), s. 481–487, 1875. 
  2. W pracy Sur la discussion des equations du premier degré („O rozważaniu równań pierwszego stopnia”) w Comptes rendus de l’Académie des sciences (tom 81, s. 1050).
  3. Praca Note sur les équations linéaires w Journal de l’École polytechnique.
  4. Np. Zur Theorie der linearen Gleichungen wydanej w 1905 roku w piśmie Journal für die reine und angewandte Mathematik.
  5. W swej pracy Sopra la compatibilitá o incompatibilitá di più equazioni di primo grado fra picì incognite z 1892 roku wydanej w Revista di Matematica (tom 2, s. 54–58).
  6. Prowadzonych na Uniwersytecie Berlińskim w latach 1883–1891, wydanych w Lipsku w 1903 roku pt. Vorlesungen über die Theorie der Determinanten.

BibliografiaEdytuj