Twierdzenie Krulla

Twierdzenie Krulla – twierdzenie teorii pierścieni mówiące o istnieniu ideałów maksymalnych w dowolnym nietrywialnym pierścieniu z jedynką lub równoważnie: każdy ideał właściwy jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym danego nietrywialnego pierścienia z jedynką. Twierdzenie to zostało sformułowane w 1929 roku przez Wolfganga Krulla i jest równoważne z aksjomatem wyboru (gdyż wykorzystuje równoważny z nim lemat Kuratowskiego-Zorna).

Poniższy dowód obowiązuje dla ideałów lewostronnych bądź w pierścieniach przemiennych dla ideałów obustronnych; obowiązuje on mutatis mutandis dla ideałów prawostronnych.

Dowód

Niech ${\mathcal {I}}$ oznacza rodzinę wszystkich ideałów właściwych pierścienia $R$ zawierających ustalony ideał $I,$ częściowo uporządkowaną relacją zawierania. Należy wykazać, że w niepustej rodzinie ${\mathcal {I}}$ (należy do niej $I$) istnieje element maksymalny – jest to szukany ideał maksymalny pierścienia $R.$ Niech ${\mathcal {L}}$ będzie łańcuchem w ${\mathcal {I}},$ wówczas jeśli $I_{1},I_{2}\in {\mathcal {L}},$ to $I_{1}\subseteq I_{2}$ lub $I_{1}\supseteq I_{2}.$

Wystarczy więc dowieść, że $J=\bigcup {\mathcal {J}}$ należy do ${\mathcal {I}},$ a ponieważ $I\subseteq J,$ to pozostaje sprawdzić, że $J$ jest ideałem właściwym:

• Otóż jeśli $a,b\in J,$ to istnieją ideały $I_{1},I_{2}\in {\mathcal {L}},$ dla których $a\in I_{1}$ i $b\in I_{2}.$ Przyjmując dla ustalenia uwagi $I_{1}\subseteq I_{2}$ otrzymuje się, iż $a,b\in I_{2},$ skąd $a+b\in I_{2},$ czyli $a+b\in J$ (podobnie dla $I_{2}\subseteq I_{1}$); ponadto jeśli $r\in R$ oraz $a\in J,$ to istnieje wtedy taki ideał $I_{1}\in {\mathcal {J}},$ że $a\in I_{1},$ wtedy $ra\in I_{1},$ skąd $ra\in J.$ Wynika stąd, że $J$ jest ideałem.
• Ideał $I$ jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy $1\notin I$ (jeśli $1\in I,$ to $r1\in I$ dla dowolnego $r\in R$ oznacza, że $I=R;$ z drugiej strony jeżeli $I=R,$ to $1\in I$). Skoro wszystkie ideały należące do ${\mathcal {J}}$ są właściwe, to żaden z nich nie zawiera jedynki, czyli również $1\notin J,$ co oznacza, że $J$ także jest właściwy.

W ten sposób $J\in {\mathcal {I}},$ a ponieważ suma każdego łańcucha w ${\mathcal {I}}$ należy do ${\mathcal {I}},$ to z wniosku do lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, że w rodzinie ${\mathcal {I}}$ istnieje element (ideał) maksymalny.

Bibliografia

• Wolfgang Krull, Die Idealtheorie in Ringen ohne Endlicheitsbedingungen, „Mathematische Annalen” 10 (1929), s. 729–744.