Otwórz menu główne

Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)

twierdzenie rachunku różniczkowego
Ten artykuł dotyczy rachunku różniczkowego. Zobacz też: inne twierdzenia Lagrange’a.

Twierdzenie Lagrange’a – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Louisa Lagrange’a.

Twierdzenie Lagrange’aEdytuj

Jeśli dana funkcja   jest

to istnieje taki punkt   że:

 

Twierdzenie nie zachodzi w przypadku wielowymiarowym.

Interpretacja geometrycznaEdytuj

Geometrycznie twierdzenie Lagrange’a oznacza, że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu   do punktu   istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej między punktami   i  

Na rysunku współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie   wynosi   Na mocy twierdzenia Lagrange’a jest on równy:

 

Wartość średniaEdytuj

Twierdzenie Lagrange’a zapisane w postaci

 

mówi, że przyrost wartości funkcji dla argumentów   i   wyraża się przez przyrost wartości zmiennej (argumentów) i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między   i   – stąd właśnie nazwa twierdzenia.

DowódEdytuj

Kładziemy:

 
 

Mamy wtedy:

 

oraz

 

A więc:

  czyli funkcja   spełnia założenia twierdzenia Rolle’a, a zatem istnieje punkt   taki, że   z drugiej strony mamy   i stąd otrzymujemy   Dlatego też  

UogólnienieEdytuj

Dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach wektorowych (a nawet w   dla  ) teza twierdzenia nie jest spełniona. Na przykład linia śrubowa (traktowana jako wykres funkcji  ) podczas jednego obrotu nie ma w żadnym momencie pochodnej zerowej, a powraca do swojej wartości (na osiach x,y).

Dla funkcji różniczkowalnej o wartościach w dowolnej przestrzeni Banacha spełniona jest nierówność:

 

Dowód polega na stwierdzeniu, że dla każdego   i każdego ograniczenia górnego normy pochodnej na przedziale   kresem górnym zbioru końców przedziału dla których teza przy   w miejscu   i ograniczeniu górnym zamiast supremum jest spełniona, jest   Po zastąpieniu ograniczenia kresem, nierówność pozostanie spełniona. Przejście graniczne z   do zera daje, dzięki ciągłości funkcji   tezę.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj