Twierdzenie Laxa-Milgrama

Twierdzenie Laxa–Milgrama – twierdzenie analizy funkcjonalnej dowiedzione w 1954 roku przez Petera Laxa i Arthura Milgrama, które uogólnia twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału określonego na przestrzeni Hilberta.

Twierdzenie to, wraz z uogólnieniami zebranymi w osobnej sekcji, znalazło zastosowanie w teorii równań różniczkowych cząstkowych, gdzie dając warunki „odwracalności” funkcjonału dwuliniowego, umożliwia wykazanie istnienia i jednoznaczności słabych rozwiązań eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych (z różnymi zagadnieniami brzegowymi), zob. Zastosowania i Przykłady.

Twierdzenie

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta nad ciałem liczb zespolonych (bądź liczb rzeczywistych) z iloczynem skalarnym $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ indukującym normę $\|\cdot \|,$ zaś $B$ będzie funkcjonałem półtoraliniowym (bądź dwuliniowym) na tej przestrzeni, który spełnia dla pewnych skalarów $b,c>0$ oraz dowolnych wektorów $u,v\in H$ warunki:

• ograniczoności,

  ${\big |}B(u,v){\big |}\leqslant c\|u\|\|v\|;$

• koercywności lub eliptyczności,

  ${\big |}B(u,u){\big |}\geqslant b\|u\|^{2}.$

Wówczas każdy ograniczony funkcjonał liniowy jest postaci

$\varphi (u)=B(u,v),$

gdzie $v$ jest jednoznacznie wyznaczonym przez $\varphi$ elementem $H.$

Dowód

Z ograniczoności i eliptyczności $B$ wynika, że $B(u,\cdot )$ jest ograniczonym funkcjonałem liniowym, który z twierdzenia Riesza można zapisać w postaci

$B(u,v)=\langle u,w\rangle$

dla pewnego $w\in H,$ przy czym element ten jest wyznaczony jednoznacznie przez $v,$ zatem może być traktowany jako funkcja zmiennej $v;$ więcej, z powyższego wzoru wynika, że zależność ta jest liniowa, co oznacza, że zbiór elementów $w$ wskazanych w tym wzorze przy ustalonym $v\in H$ tworzy przestrzeń liniową.

Zdefiniowana wyżej podprzestrzeń jest domknięta. Otóż przyjmując $u=v$ otrzymuje się

$B(v,v)=\langle v,w\rangle ,$

co przy zastosowaniu eliptyczności do lewej, a nierówności Schwarza do prawej strony tej równości i podzieleniu jej przez $\|v\|$ daje oszacowanie

$b\|v\|\leqslant \|w\|.$

Niech $\{w_{n}\}$ będzie ciągiem wyznaczanym przez $B(u,\cdot ),$ zaś $\{v_{n}\}$ będzie ciągiem odpowiadającym poprzedniemu poprzez wzór

$B(u,v_{n})=\langle u,w_{n}\rangle ;$

wtedy odejmowanie i półtoraliniowość (dwuliniowość) dają $B(u,v-v_{n})=\langle u,w-w_{n}\rangle ,$ co przy podanym wyżej oszacowaniu daje, iż $b\|v_{n}-v\|=\|w_{n}-w\|,$ skąd zbieżność $w_{n}\to w$ pociąga, że $\{v_{n}\}$ jest ciągiem Cauchy’ego; zupełność $H$ daje zbieżność $v_{n}\to v.$ Ograniczoność $B$ zapewnia o zbieżności $B(u,v_{n})\to B(u,v),$ zaś nierówność Schwarza prowadzi do zbieżności $\langle u,w_{n}\rangle \to \langle u,w\rangle$ (tzw. słabej zbieżności $w_{n}\rightharpoonup w$), która dowodzi już domkniętości wspomnianej podprzestrzeni.

Opisana wyżej domknięta podprzestrzeń to cała przestrzeń $H,$ gdyż w przeciwnym razie z twierdzenia o zbiorze wypukłym wynikałoby istnienie niezerowego wektora $u$ ortogonalnego do wszystkich $w.$ Z postaci $B(u,\cdot )$ można by wnosić, że taki $u$ spełniałby $B(u,v)=0$ dla wszystkich $v.$ Jednakże przyjęcie $v=u$ pociągałoby $B(u,u)=0,$ które wraz z eliptycznością $B$ dałoby $\|u\|=0$ pozostające w sprzeczności z $u\neq 0.$

Ostatecznie twierdzenie Riesza mówi, że wszystkie funkcjonały $\varphi (u)$ mogą być przedstawione jako $\langle u,w\rangle ,$ gdzie $w\in H,$ co w połączeniu z postacią $B(u,\cdot )$ daje tezę, przy czym jednoznaczność wynika z eliptyczności.

Uogólnienia

W 1971 roku Ivo Babuška podał następujące uogólnienie wyniku Laxa i Milgrama, w którym zrezygnował on wymagania, by funkcjonał dwuliniowy określony był na wspólnej przestrzeni.

Twierdzenie Babuški–Laxa–Milgrama

Niech $U$ oraz $V$ będą dwiema rzeczywistymi przestrzeniami Hilberta, a $B\colon U\times V\to \mathbb {R}$ będzie ciągłym przekształceniem dwuliniowym, które jest ponadto

• „słabo koercywne”: dla pewnej stałej $c>0$ i wszystkich $u\in U$ zachodzi

$\sup _{\|v\|=1}{\big |}B(u,v){\big |}\geqslant c\|u\|,$

oraz dla niezerowego $v\in V$ i pewnej stałej $k>0$ spełnia

$\sup _{\|u\|=1}{\big |}B(u,v){\big |}\geqslant k\|v\|.$

Wówczas dla wszystkich $\varphi \in V^{*}$ istnieje jednoznacznie wyznaczone rozwiązanie $u=u_{\varphi }\in U$ słabego sformułowania (zob. Zastosowania)

$B(u,v)=\langle \varphi ,v\rangle \qquad \mathrm {dla\ wszystkich} \ v\in V.$

Więcej, rozwiązanie to zależy w sposób ciągły od danych, tzn.

$\|u_{\varphi }\|\leqslant {\tfrac {1}{c}}\|\varphi \|.$

Inne uogólnienie twierdzenia Laxa-Milgrama pochodzi od Jacques’a-Louisa Lions.

Twierdzenie Lions–Laxa–Milgrama

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta, $V$ oznacza przestrzeń unormowaną, zaś $B\colon H\times V\to \mathbb {R}$ będzie ciągłym przekształceniem dwuliniowym. Wówczas następujące warunki są równoważne:

• „słaba koercywność”: dla pewnego skalara $c>0$ zachodzi

  $\inf _{\|v\|_{V}=1}\sup _{\|u\|_{H}\leqslant 1}|B(u,v)|\geqslant c;$

• „słaba odwracalność”: dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego $\varphi \in V^{*}$ istnieje taki element $u\in H$ dla którego zachodzi

  $B(u,v)=\langle \varphi ,v\rangle \qquad \mathrm {dla\ ka{\dot {z}}dego} \ v\in V.$

Powyższe twierdzenie stosuje się zwykle pod postacią następującej obserwacji, której założenia pojawiają się dość często i są względnie łatwe do sprawdzenia w zastosowaniach praktycznych.

Wniosek

Niech $V$ będzie zanurzona w sposób ciągły w $H;$ jeśli $B$ jest

• $V$-eliptyczna, czyli dla pewnego $c>0$ i wszystkich $v\in V$ zachodzi

  $\|v\|_{H}\leqslant c\|v\|_{V};$

• koercywna, dla pewnego $b>0$ i każdego $v\in V$ jest

  $B(v,v)\geqslant b\|v\|_{V}^{2};$

to spełniony jest warunek „słabej koercywności” twierdzenia Lions–Laxa–Milgrama (skąd wynika istnienie „słabej odwrotności”)

Zastosowania

Na pytanie o istnienie i jednoznaczność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych istnieje odpowiedź w postaci twierdzenia Picarda-Lindelöfa; jego odpowiednik dla równań różniczkowych cząstkowych, twierdzenie Cauchy’ego-Kowalewskiej, mówi z kolei, że zagadnienie Cauchy’ego dowolnego równania różniczkowego cząstkowego o współczynnikach analitycznych względem poszukiwanej funkcji i jej pochodnych ma lokalnie jednoznaczne rozwiązanie analityczne. Choć wynik ten zdaje się rozwiązywać problem istnienia i jednoznaczności rozwiązań, to istnieją jednak przykłady liniowych równań różniczkowych cząstkowych o współczynnikach mających pochodne wszystkich rzędów (choć nieanalitycznych), które mimo tego nie mają rozwiązań. Jeśli nawet rozwiązanie równania różniczkowego cząstkowego istnieje i jest jednoznaczne, to może ono mieć niepożądane własności; jeżeli równanie inspirowane było naukami przyrodniczymi, to może nie mieć ono przez to satysfakcjonującego w nich zastosowania.

Właściwą odpowiedzią na bolączki teorii klasycznej okazało się osłabienie niektórych jej założeń. Jednym z najważniejszych sposobów jest przyzwolenie na to, że rozwiązania nie muszą być dobrze określonymi funkcjami w klasycznym sensie, lecz mogą być słabymi rozwiązaniami względem pewnych wektorów lub funkcji testowych (tzn. dystrybucjami. Zwykle należą one do pewnej przestrzeni Sobolewa), a przy tym nie muszą być wcale różniczkowalne – z punktu widzenia zastosowań brak tego wymogu jest bardzo pożądany, gdyż w modelowaniu zjawisk świata rzeczywistego nieustannie napotyka się równania, które nie mają dostatecznie gładkich rozwiązań. Wówczas wygodnie jest udowodnić najpierw istnienie słabych rozwiązań, a dopiero potem wykazać ich wystarczającą gładkość.

Niech $V$ będzie przestrzenią Banacha; należy znaleźć rozwiązanie $u\in V$ równania

$\mathrm {A} (u)=\varphi ,$

gdzie $\mathrm {A} \colon V\to V^{*}$ oraz $\varphi \in V^{*}$ jest funkcjonałem liniowym na $V,$ czyli elementem przestrzeni sprzężonej $V^{*}.$ Opierając się na metodach rachunku wariacyjnego powyższe zagadnienie można przedstawić jako poszukiwanie takiego $u\in V,$ że dla wszystkich $v\in V$ zachodzi

${\big (}\mathrm {A} (u){\big )}(v)=\varphi (v)$

przy czym element $v$ nazywa się wektorem testowym lub funkcją testową (gdy $V$ jest przestrzenią funkcji). Powyższe równanie można przedstawić w ogólnej postaci słabego sformułowania: znalezienia $u\in V,$ które spełniałoby dla wszystkich $v\in V$ równanie

$B(u,v)=\varphi (v)$

poprzez zadanie funkcjonału dwuliniowego wzorem $B(u,v)={\big (}\mathrm {A} (u){\big )}(v).$ Konkretne przykłady można znaleźć w kolejnej sekcji.

Osiągnięciem Laxa i Milgrama było wskazanie warunków wystarczających na to, by dane zagadnienie w słabych sformułowaniu miało jednoznaczne rozwiązanie zależące w sposób ciągły od danych $\varphi \in V^{*}{:}$ otóż wystarczy by $V$ było przestrzenią Hilberta, a funkcjonał $B$ (będący często pewną modyfikacją iloczynu skalarnego) na niej określony był ograniczony, czyli ciągły, i koercywny; tezę twierdzenia uzupełnia się niekiedy o oszacowanie normy rozwiązania $u\in V$ równania $B(u,v)=\varphi (v),$ mianowicie $\|u\|\leqslant {\tfrac {1}{c}}\|\varphi \|$ (pojawia się ono jako wiersz dowodu). Wkładem Babuški było przyjęcie, iż $B$ jest parowaniem między przestrzeniami Hilberta (słabe rozwiązania i wektory testowe), podczas gdy Lions zakłada, iż parowanie ma miejsce między przestrzeniami Hilberta (słabe rozwiązania) i unormowaną (wektory testowe).

Przykłady

Układ równań liniowych

Użycie twierdzenia Laxa–Milgrama w tym wypadku jest „strzelaniem z armaty do wróbla”, jednak przykład ten umożliwia wgląd w bardziej skomplikowane przypadki. Niech $V=\mathbb {R} ^{n}$ będzie przestrzenią unitarną (tj. przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym), a $\mathrm {A} \colon V\to V$ będzie przekształceniem liniowym opisującym układ równań liniowych. Rozwiązanie równania $\mathrm {A} (\mathbf {u} )={\boldsymbol {\varphi }}$ w słabym sformułowaniu polega na poszukiwaniu takiego $\mathbf {u} \in V,$ że dla wszystkich $\mathbf {v} \in V$ spełnione jest równanie

${\big \langle }\mathrm {A} (\mathbf {u} ),\mathbf {v} {\big \rangle }=\langle {\boldsymbol {\varphi }},\mathbf {v} \rangle ,$

gdzie $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ oznacza standardowy iloczyn skalarny (będący funkcjonałem dwuliniowym). Ponieważ $\mathrm {A}$ jest przekształceniem liniowym, to do testowania wystarczające są wektory bazowe (zob. twierdzenie), skąd otrzymuje się

${\big \langle }\mathrm {A} (\mathbf {u} ),\mathbf {e} _{i}{\big \rangle }=\langle {\boldsymbol {\varphi }},\mathbf {e} _{i}\rangle \qquad \mathrm {dla} \ i=1,\dots ,n.$

Korzystając z zapisu macierzowego wektory $\mathbf {u} =\sum \nolimits _{j=1}^{n}u_{j}\mathbf {e} _{j}$ i ${\boldsymbol {\varphi }}=\sum \nolimits _{j=1}^{n}\varphi _{j}\mathbf {e} _{j}$ oraz przekształcenie $\mathrm {A} (\mathbf {e} _{j})=\sum \nolimits _{i=1}^{n}a_{ij}\mathbf {e} _{i}$ można przedstawić w postaci macierzy, odpowiednio $\mathbf {U} =[u_{1},\dots ,u_{n}]^{\mathrm {T} }$ i ${\boldsymbol {\Phi }}=[\varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}]^{\mathrm {T} }$ oraz $\mathbf {A} =[a_{ij}],$ gdzie $a_{ij}={\big \langle }\mathrm {A} (\mathbf {e} _{j}),\mathbf {e} _{i}{\big \rangle },$ zaś $\varphi _{i}=\langle {\boldsymbol {\varphi }},\mathbf {e} _{i}\rangle ;$ daje to następującą macierzową postać problemu $\mathbf {AU} ={\boldsymbol {\Phi }}.$ Związany z tym słabym sformułowaniem funkcjonał dwuliniowy dany jest wzorem

$B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\langle \mathrm {A} (\mathbf {u} ),\mathbf {v} \rangle =\mathbf {AU} \cdot \mathbf {V} \ {\overset {\underset {\mathrm {df} }{=}}{\mathbf {V} }}^{\mathrm {T} }\mathbf {AU} ,$

gdzie kropka oznacza standardowy iloczyn skalarny macierzy (zdefiniowany kolejną równością), zaś $(\cdot )^{\mathrm {T} }$ oznacza transponowanie macierzy.

Ograniczoność powyższego funkcjonału dwuliniowego wynika ze skończonego wymiaru przestrzeni $\mathbb {R} ^{n},$ w rzeczywistości $c=\|\mathrm {A} \|.$ Z kolei koercywność oznacza w istocie, że części rzeczywiste wartości własnych $\mathrm {A}$ nie są mniejsze od $c;$ w szczególności żadna wartość własna nie jest zerem, skąd układ jest rozwiązalny. Ponadto otrzymuje się oszacowanie $\|\mathbf {u} \|\leqslant {\tfrac {1}{c}}\|{\boldsymbol {\varphi }}\|,$ gdzie $c$ jest najmniejszą częścią rzeczywistą wartości własnej $\mathrm {A} .$

Równanie Poissona

Poszukiwane będą rozwiązania równania Poissona,

$-\Delta u=\varphi ,$

na dziedzinie $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n},$ dla której $u\equiv 0$ na jej brzegu; przestrzeń rozwiązań $V$ zostanie dookreślona w dalszej kolejności. Do wyprowadzenia słabego sformułowania wykorzystany zostanie iloczyn skalarny przestrzeni Lebesgue’a $\mathrm {L} ^{2},$

$\langle u,v\rangle =\int \limits _{\Omega }u(x)v(x)\ \lambda (\mathrm {d} x)=\int \limits _{\Omega }uv\ \mathrm {d} \lambda \ {\overset {\underset {\mathrm {ozn} }{\ }}{=}}\int uv,$

dany za pomocą całki Lebesgue’a po zbiorze $\Omega$ względem miary Lebesgue’a $\lambda ;$ testowanie odbywać się będzie za pomocą funkcji różniczkowalnych $v,$ dzięki czemu słabe sformułowanie przyjmuje postać

$-\int \Delta u\,v=\int \varphi v.$

Lewą stronę tego równania można uczynić bardziej symetryczną korzystając z całkowania przez części w oparciu o tożsamość Greena,

$\int \nabla u\cdot \nabla v=\int \varphi v.$

Powyższe równanie nazywa się zwykle słabym sformułowaniem równania Poissona; jedyne czego brakuje to przestrzeń $V.$ Wskazanie jej jest nieco kłopotliwe i dlatego zostanie ono tutaj pominięte: z pewnością musi ona nadawać sens temu równaniu, dlatego od pochodnych funkcji w tej przestrzeni powinno wymagać się całkowalności z kwadratem; własności te ma np. przestrzeń Sobolewa $\mathrm {H} _{0}^{1}(\Omega )$ funkcji o słabych pochodnych w $\mathrm {L} ^{2}(\Omega )$ (przestrzeń $\mathrm {H} _{0}^{1}(\Omega )$ jest podprzestrzenią liniową $\mathrm {L} ^{2}(\Omega )$) ze wskazanymi warunkami brzegowymi (tj. $u(x)=0$ na brzegu $\partial \Omega$). Standardową postać słabego sformułowania otrzymuje się przyjmując

$B(u,v)=\int \nabla u\cdot \nabla v$

oraz

$\varphi (v)=\int \varphi v.$

Przy powyższej propozycji wyboru $V=\mathrm {H} _{0}^{1}(\Omega )$ norma na tej przestrzeni zadana jest wzorem $\|v\|_{V}:=\|\nabla v\|,$ gdzie norma po prawej stronie jest normą $\mathrm {L} ^{2}$ na $\Omega$ (o poprawności tego wzoru zapewnia nierówność Poincarégo). Ponieważ ${\big |}B(u,u){\big |}=\|\nabla u\|^{2}$ i z nierówności Cauchy’ego-Schwarza wynika, że ${\big |}B(u,v){\big |}\leqslant \|\nabla u\|\;\|\nabla v\|,$ to dla każdego $\varphi \in \mathrm {H} ^{-1}(\Omega )=H_{0}^{1}(\Omega )^{*}$ istnieje jednoznacznie wyznaczone rozwiązanie $u\in V$ równania Poissona, które spełnia $\|\nabla u\|\leqslant \|\varphi \|_{H^{-1}(\Omega )}.$

Bibliografia

• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2.