Otwórz menu główne

Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości

Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące, że prawie każdy punkt mierzalnego podzbioru przestrzeni euklidesowej jest jego punktem gęstości. „Prawie” oznacza tu, że punkty nie będące punktami gęstości mogą istnieć, ale tworzą zbiór o mierze zero.

Oznaczenia i pojęcia wstępneEdytuj

Niech   będzie sumą niepustej rodziny przedziałów N-wymiarowych (z twierdzenia Vitaliego wynika, że jest on zbiorem mierzalnym). Niech   będzie funkcją określoną na rodzinie wszystkich kostek N-wymiarowych zawartych w zbiorze   i przyjmującą wartości w zbiorze   oraz punkt  . Niech dany będzie również zbiór

 ,

gdzie   jest pewnym ciągiem kostek zawartych w zbiorze   takich, że   oraz

 .

Zbiór ten jest niepustym i domkniętym podzbiorem przestrzeni  .

Kres dolny i górny zbioru   oznaczamy odpowiednio

  oraz  .

Ponadto gdy są one równe (co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór   jest jednoelementowy), to piszemy wówczas

 .

Punkty gęstościEdytuj

Punkt   nazywamy punktem gęstości (mierzalnego) podzbioru   wtedy i tylko wtedy, gdy

 ,

gdzie   oznacza N-wymiarową miarę Lebesgue’a.

Twierdzenie Lebesgue’aEdytuj

Jeśli   jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue’a, to prawie każdy punkt tego zbioru jest jego punktem gęstości.

Dowód twierdzenia Lebesgue’a wykorzystuje twierdzenie Vitaliego o pokryciu.

BibliografiaEdytuj