Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej (zmajoryzowanej) – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica odpowiednio ograniczonego ciągu funkcji mierzalnych jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henri Lebesgue’a.

TwierdzenieEdytuj

Załóżmy że:

(a)   jest przestrzenią mierzalną z miarą,
(b)   (dla  ) jest funkcją mierzalną,
(c) dla pewnej funkcji całkowalnej   mamy, że   dla wszystkich   i  
(d) dla wszystkich   istnieje granica   niech funkcja   będzie zdefiniowana przez
  dla  

Wówczas funkcja   jest całkowalna oraz

    i    

Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie, a nie dla każdego  

Szkic dowoduEdytuj

Załóżmy że są spełnione warunki (a)-(d). Najpierw zauważamy, że   jest funkcją mierzalną, jako że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna[1]. oraz   (dla wszystkich  ), a stąd   jest całkowalna. Zauważmy, że   (dla każdego  ), więc możemy zastosować lemat Fatou do funkcji  

Ponieważ   to otrzymujemy wówczas, że

 

Stąd już wnioskujemy że   a zatem   Ponieważ   to możemy też wywnioskować, że  

PrzykładEdytuj

Istotność założenia (c)

Rozważmy odcinek   wyposażony w miarą Lebesgue’a   Dla liczby naturalnej   zdefiniujemy funkcję   przez

 

Wtedy   dla   natomiast  

A więc nie można pominąć założenia (c) o wspólnym ograniczeniu tych funkcji.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 23, 35.

BibliografiaEdytuj