Twierdzenie Leibniza (o różniczkowaniu pod znakiem całki)

Twierdzenie Leibniza albo Leibniza o różniczkowaniu pod znakiem całki zwane często regułą Leibniza – twierdzenie mówiące o różniczkowaniu funkcji danej jako całka z parametrem.

Reguła LeibnizaEdytuj

Wersja I – analiza klasycznaEdytuj

Niech   będzie funkcją   załóżmy, że   jest funkcją ciągła oraz że ma ona ciągłą pochodną cząstkową   na całej swojej dziedzinie.

Dla   określmy   Wówczas funkcja   jest różniczkowalna oraz dla każdego   spełniony jest wzór:

 

Ogólniej, zakładając że dla każdego   funkcja jest ciągła na przedziale   gdzie funkcje   są ciągle różniczkowalne, mamy:

 

Wersja II – teoria miaryEdytuj

Niech   będzie otwartym podzbiorem   oraz   będzie przestrzenią mierzalną. Załóżmy, że   spełnia poniższe warunki:

(1)   jest dla każdego   funkcją całkowalną względem  

(2) Dla każdego   pochodna   istnieje  -p.w.

(3) Istnieje całkowalna funkcja   dla której  

Wtedy dla każdego  

 

DowódEdytuj

Zauważmy, że iloraz różnicowy funkcji I dany jest przez

 

(pamiętajmy, że całka jest operatorem liniowym). Teraz,

 

W związku z powyższym pozostaje kwestia, czy możemy przejść z granicą pod całkę.

Wersja IEdytuj

Zauważmy, że funkcja określona jest na zbiorze domkniętym i ograniczonym, co w   jest jednoznaczne ze zwartością zbioru. Z założenia istnienia pochodnej cząstkowej dla każdego ciągu   zachodzi zbieżność punktowa   dla każdego punktu. Na mocy zwartości dziedziny funkcji mamy zatem zbieżność jednostajną, co pozwala nam napisać:

 

Co na mocy dowolności ciągu   oraz definicji Heinego granicy funkcji daje tezę podstawową. Weźmy teraz   ciągle różniczkowalne.

 

gdzie ostatnia równość zachodzi na mocy twierdzenia o wartości pośredniej dla całki z funkcji ciągłej   Zatem biorąc granicę, i korzystając z podstawowej wersji twierdzenia mamy:

 

Przy czym z ciągłości f mamy  

Wersja IIEdytuj

Korzystając z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej dla dowolnego ciągu dążącego do zera, oraz stosując definicję Heinego granicy funkcji jak powyżej otrzymujemy:

 

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj