Twierdzenie Markowa-Kakutaniego

Twierdzenie Markowa-Kakutaniegotwierdzenie o punkcie stałym udowodnione przez Andrieja Markowa[1] oraz Shizuo Kakutaniego[2] mówiące o istnieniu wspólnego punktu stałego dla półgrupy ciągłych operatorów afinicznych określonych na wypukłym, zwartym podzbiorze przestrzeni lokalnie wypukłej.

TwierdzenieEdytuj

Niech   będzie przestrzenią lokalnie wypukłą oraz niech   będzie zbiorem wypukłym i zwartym. Niech   będzie rodziną operatorów afinicznych   które ze sobą komutują, tj.   dla   Wówczas operatory te mają wspólny punkt stały, tj. istnieje taki   że   dla wszystkich  

DowódEdytuj

Istnienie punktu stałego dla jednego operatora

Niech   będzie operatorem afinicznym. Dla   niech

 

Wówczas   Ze zwartości   wynika, że ciąg   ma podciąg uogólniony   zbieżny do pewnego   Punkt   jest punktem stałym dla   tj.   Rzeczywiście, z lokalnej wypukłości przestrzeni   wystarczy wykazać, że

 

gdyż ciągłe funkcjonały liniowe na   rozdzielają punkty   (tj. dla dowolnej pary różnych punktów     istnieje taki ciągły funkcjonał liniowy   na   dla którego  ). Niech   Ze zwartości     jest ograniczony na   przez pewną stałą   Z drugiej strony

 

W szczególności dla   przechodząc do granicy podciągu uogólnionego, dostaje się tezę.

Przypadek ogólny

Dla każdego   zbiór punktów stałych   operatora   jest niepusty, ale także wypukły i zwarty. Ponadto

 

z uwagi na to, że   dla   W szczególności, dla każdego skończonego podzbioru   mamy

 

Rodzina   składająca się zwartych podzbiorów przestrzeni zwartej   ma własność skończonych przekrojów, a więc jej część wspólna jest niepusta. Oznacza to, że element należący do części wspólnej tej rodziny jest wspólnym punktem stałym dla operatorów z  

PrzypisyEdytuj

  1. A. Markov, Quelques théorèmes sur les ensembles abéliens, „Dokl. Akad. Nauk SSSR” 10 (1936), s. 311–314.
  2. S. Kakutani, Two fixed-point theorems concerning bicompact convex sets, „Proc. Imp. Acad.” 14 (1938), no. 7, s. 242–245.