Otwórz menu główne

Treść twierdzeniaEdytuj

Jeżeli w grafie prostym   o n wierzchołkach,   zachodzi następująca nierówność:

 

dla każdej pary niepołączonych bezpośrednio krawędzią wierzchołków   i   (tj. takich, że  ), to graf   posiada cykl Hamiltona.

Wersja twierdzenia z drogą HamiltonaEdytuj

Jeżeli w grafie prostym   o n wierzchołkach,   zachodzi następująca nierówność:

 

dla każdej pary niepołączonych bezpośrednio krawędzią wierzchołków   i   (tj. takich, że  ), to graf   posiada drogę Hamiltona.

Dowód twierdzeniaEdytuj

Dowód nie wprost. Przypuśćmy, że twierdzenie jest fałszywe, czyli dla pewnej liczby   istnieje kontrprzykład   – graf, który spełnia założenie twierdzenia, ale nie jest Hamiltonowski. Spośród wszystkich takich grafów rozpatrzmy te, które mają najmnieszą liczbę wierzchołków, a spośród nich (grafów) taki, dla którego wartość   jest maksymalna. Jest to podgraf pełnego grafu hamiltonowskiego   Dodanie do   krawędzi z grafu   daje w wyniku graf, który nadal spełnia założenia twierdzenia i który ma więcej niż   krawędzi, a więc ze względu na wybór grafu   tak powstały graf będzie miał cykl Hamiltona. To znaczy, że   musi mieć (przynajmniej) drogę Hamiltona, określoną przez pewien ciąg wierzchołków,   Ponieważ   nie ma cyklu Hamiltona, to nie istnieje krawędź łącząca   Z kolei z założenia wiemy, że:

 

Można teraz zdefiniować podzbiory zbioru   takie, że:

 

i

 

wtedy:

  i  

Ponieważ:

 

i zbiór

 

ma co najwyżej   elementów, a więc zbiór   musi być niepusty. Istnieje więc liczba   dla której istnieją krawędzie   Wtedy droga:

 

jest cyklem Hamilotona w grafie   sprzeczność. QED.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Robin James Wilson, Marek Kubale: Wprowadzenie do teorii grafów. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1985, s. 53. ISBN 83-01-05247-3.