Twierdzenie Orego

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.




Najważniejsze pojęcia
graf
drzewo
podgraf
cykl
klika
stopień wierzchołka
stopień grafu
dopełnienie grafu
obwód grafu
pokrycie wierzchołkowe
liczba chromatyczna
indeks chromatyczny
izomorfizm grafów
homeomorfizm grafów


Wybrane klasy grafów
graf pełny
graf spójny
drzewo
graf dwudzielny
graf regularny
graf eulerowski
graf hamiltonowski
graf planarny


Algorytmy grafowe
A*
Bellmana-Forda
Dijkstry
Fleury'ego
Floyda-Warshalla
Johnsona
Kruskala
Prima
przeszukiwanie grafu
wszerz
w głąb
najbliższego sąsiada


Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe
problem komiwojażera
problem chińskiego listonosza
problem marszrutyzacji
problem kojarzenia małżeństw


Inne zagadnienia
kod Graya
diagram Hassego
kod Prüfera


Twierdzenie Orego – twierdzenie podające warunek wystarczający na to, aby graf miał cykl Hamiltona. Zostało ono sformułowane w roku 1961 przez norweskiego matematyka Øysteina Orego.

Treść twierdzeniaEdytuj

Jeżeli w grafie prostym   o n wierzchołkach,   zachodzi następująca nierówność:

 

dla każdej pary niepołączonych bezpośrednio krawędzią wierzchołków   i   (tj. takich, że  ), to graf   posiada cykl Hamiltona.

Wersja twierdzenia z drogą HamiltonaEdytuj

Jeżeli w grafie prostym   o n wierzchołkach,   zachodzi następująca nierówność:

 

dla każdej pary niepołączonych bezpośrednio krawędzią wierzchołków   i   (tj. takich, że  ), to graf   posiada drogę Hamiltona.

Dowód twierdzeniaEdytuj

Dowód nie wprost. Przypuśćmy, że twierdzenie jest fałszywe, czyli dla pewnej liczby   istnieje kontrprzykład   – graf, który spełnia założenie twierdzenia, ale nie jest Hamiltonowski. Spośród wszystkich takich grafów rozpatrzmy te, które mają najmnieszą liczbę wierzchołków, a spośród nich (grafów) taki, dla którego wartość   jest maksymalna. Jest to podgraf pełnego grafu hamiltonowskiego   Dodanie do   krawędzi z grafu   daje w wyniku graf, który nadal spełnia założenia twierdzenia i który ma więcej niż   krawędzi, a więc ze względu na wybór grafu   tak powstały graf będzie miał cykl Hamiltona. To znaczy, że   musi mieć (przynajmniej) drogę Hamiltona, określoną przez pewien ciąg wierzchołków,   Ponieważ   nie ma cyklu Hamiltona, to nie istnieje krawędź łącząca   Z kolei z założenia wiemy, że:

 

Można teraz zdefiniować podzbiory zbioru   takie, że:

 

i

 

wtedy:

  i  

Ponieważ:

 

i zbiór

 

ma co najwyżej   elementów, a więc zbiór   musi być niepusty. Istnieje więc liczba   dla której istnieją krawędzie   Wtedy droga:

 

jest cyklem Hamilotona w grafie   sprzeczność. QED.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Robin James Wilson, Marek Kubale: Wprowadzenie do teorii grafów. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1985, s. 53. ISBN 83-01-05247-3.