Otwórz menu główne
Ilustracja przypadku twierdzenia dla okręgu.

Twierdzenie Pascala – twierdzenie geometryczne udowodnione przez Blaise’a Pascala w wieku 16 lat[1].

Twierdzenie to jest dualne w geometrii rzutowej do twierdzenia Brianchona (co oznacza, że twierdzenia te są równoważne). Najbardziej elementarny dowód twierdzenia Pascala wykorzystuje twierdzenie Menelaosa. Jego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie Pappusa.

Spis treści

TwierdzenieEdytuj

Niech dane będzie sześć punktów   leżących na krzywej stożkowej, zaś   oznaczają punkty przecięcia odpowiednio prostych   oraz     oraz     oraz   Wówczas punkty  współliniowe.

W szczególności, dla każdego sześciokąta wpisanego w krzywą stożkową trzy punkty będące przecięciami jego przeciwległych boków leżą na jednej prostej.

UwagiEdytuj

W ogólności dotyczy ono stożkowych, jednak ponieważ przekształcenia rzutowe zachowują współliniowość punktów, to tezę można sprowadzić do przypadku, gdy krzywa stożkowa jest okręgiem.

UogólnieniaEdytuj

August Ferdinand Möbius w 1847 roku uogólnił twierdzenie Pascala do postaci:

Niech dane będzie dla wielokąta o   bokach wpisanego w krzywą stożkową   punktów będących przecięciami par przeciwległych boków. Jeżeli   z tych punktów leży na jednej prostej, to pozostały punkt również leży na tej prostej.

PrzypisyEdytuj

  1. Jacques Attali, Pascal, Jerzy Kierul (tłum.), Warszawa: Państwowy Instytut Wydawniczy, 2004, s. 53, ISBN 83-06-02935-6, OCLC 749984369.