Twierdzenie Pascala

Twierdzenie Pascala – twierdzenie geometryczne udowodnione przez Blaise’a Pascala w wieku 16 lat.

Ilustracja przypadku twierdzenia dla okręgu.

Twierdzenie to jest dualne w geometrii rzutowej do twierdzenia Brianchona (co oznacza, że twierdzenia te są równoważne). Najbardziej elementarny dowód twierdzenia Pascala wykorzystuje twierdzenie Menelaosa. Jego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie Pappusa.

Twierdzenie

Niech dane będzie sześć punktów $A1,A2,A3,A4,A5,A6$ leżących na krzywej stożkowej, zaś $B1,B2,B3$ oznaczają punkty przecięcia odpowiednio prostych $A1A2$ oraz $A4A5,$ $A1A6$ oraz $A3A4,$ $A2A3$ oraz $A5A6.$ Wówczas punkty $B1,B2,B3$ są współliniowe.

W szczególności, dla każdego sześciokąta wpisanego w krzywą stożkową trzy punkty będące przecięciami jego przeciwległych boków leżą na jednej prostej.

Uwagi

W ogólności dotyczy ono stożkowych, jednak ponieważ przekształcenia rzutowe zachowują współliniowość punktów, to tezę można sprowadzić do przypadku, gdy krzywa stożkowa jest okręgiem.

Uogólnienia

August Ferdinand Möbius w 1847 roku uogólnił twierdzenie Pascala do postaci:

Niech dane będzie dla wielokąta o $4n+2$ bokach wpisanego w krzywą stożkową $2n+1$ punktów będących przecięciami par przeciwległych boków. Jeżeli $2n$ z tych punktów leży na jednej prostej, to pozostały punkt również leży na tej prostej.