Twierdzenie Picarda

Twierdzenie Picarda – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego. Podawane jest także jako twierdzenie Picarda-Lindelöfa lub twierdzenie Cauchy’ego-Lipschitza. Nazwa twierdzenia ma uhonorować Charlesa Picarda, a w innym wersjach także Ernsta Lindelöfa, Rudolpha Lipschitza i Augustina Cauchy’ego.

TwierdzenieEdytuj

Załóżmy, że   jest obszarem otwartym na płaszczyźnie oraz funkcja   jest ciągła na zbiorze   i spełnia warunek Lipschitza ze względu na drugą zmienną. Tak więc, dla pewnej stałej   mamy, że

 

ilekroć  

Niech   Wówczas dla pewnego   zagadnienie początkowe

 
 

ma dokładnie jedno rozwiązanie   określone na przedziale  

Uogólnienie na przestrzenie BanachaEdytuj

Twierdzenie Picarda w naturalny sposób przenosi się na funkcje spełniające lokalny warunek Lipschitza określone na otwartych podzbiorach produktu prostej rzeczywistej i dowolnej przestrzeni Banacha.

Lokalny warunek LipschitzaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią unormowaną oraz   będzie zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja   spełnia lokalny warunek Lipschitza na zbiorze   wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt   ma otoczenie, na którym   spełnia warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej.

Twierdzenie PicardaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią Banacha oraz   będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja   jest ciągła oraz spełnia lokalny warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej na zbiorze   to

  • każde rozwiązanie równania   daje się przedłużyć do rozwiązania globalnego,
  • każde rozwiązanie globalne powyższego równania jest funkcją określoną na przedziale otwartym,
  • dla każdego punktu   istnieje dokładnie jedno rozwiązanie globalne spełniające warunek początkowy  

Globalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązańEdytuj

Korzystając z twierdzenia Picarda można dowieść globalnego twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych, znane również jako twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania wysyconego[1]. Poza faktem istnienia oraz jedyności rozwiązania opisuje ono również jego zachowanie.

TwierdzenieEdytuj

Niech   będzie odcinkiem otwartym, zaś   będą zbiorami otwartymi. Niech   będzie ciągłą funkcją spełniającą lokalny jednostajny warunek Lipschitza ze względu na drugą współrzędną, tj. dla dowolnego   istnieją zbiory otwarte   i   takie, że:

  i  
 
 

Wówczas dla każdego   istnieje dokładnie jedno nierozszerzalne rozwiązanie   zagadnienia Cauchy’ego:

 

Ponadto maksymalny odcinek   istnienia rozwiązania jest otwarty i zachodzi następująca alternatywa:

    i    

lub

jeśli       to    
jeśli       to    

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Wydawnictwo Naukowe PWN, Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria i metody numeryczne z wykorzystaniem programu rachunków symbolicznych, wyd. Wyd. 2 - 1 dodr. (PWN), Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, [cop. 2017], ISBN 978-83-01-19591-5, OCLC 1020470973.

BibliografiaEdytuj

  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979, s. 193–196.
  • Krzysztof Frączek: Równania różniczkowe (pol.). [dostęp 2013-03-30].

Linki zewnętrzneEdytuj