Twierdzenie Poissona

Twierdzenie Poissona dostarcza dobrego przybliżenia uzyskania konkretnej liczby sukcesów w schemacie Bernoulliego w przypadku, gdy prawdopodobieństwo sukcesu jest małe oraz iloczyn prawdopodobieństwa sukcesu i liczby prób dąży do pewnej stałej.

Twierdzenie

Niech $B_{n}$ będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych $B(n,p_{n}).$ Wówczas jeżeli

$\lim \limits _{n\to \infty }np_{n}=\lambda ,$

to

$\lim \limits _{n\to \infty }{\mathsf {P}}(B_{n}=k)=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}},$

lub równoważnie

$B_{n}{\stackrel {D}{\longrightarrow }}X,X\sim \mathrm {Poiss} (\lambda )$

Dowód

Z definicji rozkładu dwumianowego dostajemy, że

${\mathsf {P}}(B_{n}=k)={\binom {n}{k}}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}.$

Niech $\lambda _{n}=np_{n}.$ Wówczas $\lambda _{n}\longrightarrow \lambda .$ Mamy zatem

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\mathsf {P}}(B_{n}=k)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\left({\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}\right)\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}\\&={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot \lim _{n\to \infty }\underbrace {\left({\frac {n}{n}}\cdot {\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-2}{n}}\cdots {\frac {n-k+1}{n}}\right)} _{\to 1}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to e^{-\lambda }}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&={\frac {\lambda ^{k}\mathrm {e} ^{-\lambda }}{k!}}\end{aligned}}$.

Uwaga

Można przeprowadzić dowód w inny sposób, używając funkcji charakterystycznej. Wystarczy wykazać, że funkcja charakterystyczna zmiennej $B_{n}$ dąży do funkcji charakterystycznej rozkładu Poissona o stałej $\lambda {:}$

jeśli $X\sim \mathrm {Poiss} (\lambda ),$ to ${\mathsf {P}}(X=k)=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}.$

Komentarz

Twierdzenie Poissona podobnie jak centralne twierdzenie graniczne służy do opisywania sum niezależnych zmiennych losowych. Różnica między tymi twierdzeniami polega na tym, że centralne twierdzenie graniczne mówi nam o sytuacjach, w których prawdopodobieństwo zajścia pojedynczego zdarzenia jest umiarkowane, a twierdzenie Poissona opisuje sytuacje, w których prawdopodobieństwo zajścia pojedynczego zdarzenia jest małe. Dobrym przykładem sytuacji, w której warto stosować twierdzenie Poissona do oszacowań, jest prawdopodobieństwo wygrania dużej kwoty na loterii.

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.brak strony w książce