Twierdzenie Ptolemeusza

Twierdzenie Ptolemeusza – twierdzenie w geometrii klasycznej opisujące zależność pomiędzy bokami a przekątnymi czworokąta wpisanego w okrąg. Jego pierwsze sformułowanie oraz dowód przypisuje się Klaudiuszowi Ptolemeuszowi; pojawia się ono w jego dziele zatytułowanym „Almagest[1].

TwierdzenieEdytuj

W dowolnym czworokącie   wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków[2][3][4]:
 
(1)

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do niego:

Jeśli w czworokącie iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków, to czworokąt ten można wpisać w okrąg.

DowodyEdytuj

Dowód geometrycznyEdytuj

Niech dany będzie czworokąt   wpisany w okrąg oraz punkt   leżący na przekątnej   tak, by półprosta   przecinała przekątną   przy zachowaniu równości kątów   Wówczas otrzymuje się trójkąty   i  

Z konstrukcji wynika, że   oraz   ponieważ kąty te są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku. Trójkąty   i   są więc podobne, dzięki czemu

 

skąd

 
(2)

Trójkąty   i   są podobne, gdyż mają równe kąty   i   oraz kąty   i   (kąty wpisane oparte na tym samym łuku). Odpowiednie boki są więc proporcjonalne:

 

a zatem

 
(3)

Po zsumowaniu stronami równości (2) oraz (3) otrzymuje się

 

co w konsekwencji daje

 

i ostatecznie

 

co należało wykazać.

Dowód twierdzenia odwrotnego

Dowód twierdzenia odwrotnego przebiega podobnie[3][5]. Niech w czworokącie   zachodzi (1). Należy znaleźć taki punkt   który spełnia warunki

  oraz  

Mając go można wnioskować o podobieństwie trójkątów   oraz   przy czym

 

Z drugiej strony, ponieważ   oraz

 

trójkąty   i   są podobne.

Stąd zachodzą (2) oraz (3), dając

 

Z założenia wynika jednak, że   co oznacza, że punkt   leży na odcinku   Ale wtedy

 

czyli wierzchołki   i   leżą na tym samym okręgu, co   i  

Dowód trygonometrycznyEdytuj

Dowód wystarczy przeprowadzić, gdy okrąg w twierdzeniu będzie okręgiem jednostkowym. Dowolny inny przypadek można sprowadzić do niego poprzez odpowiednie przekształcenia: przesunięcie równoległe i jednokładność (ogólnie: podobieństwo). Dzięki tej obserwacji możliwe jest przedstawienie każdego z wierzchołków   czworokąta jako

 

przy czym   oznacza kąt pomiędzy dodatnią półosią OX oraz promieniem wodzącym łączącym początek układu współrzędnych z punktem   Można również założyć, że (po ewentualnym przenumerowaniu) wierzchołki ponumerowane są przeciwnie do kierunku wskazówek zegara, tzn. jest

 

Jeśli dane są dwa punkty na okręgu jednostkowym o współrzędnych   i   to ich odległość euklidesowa

 

Jeśli   dla   jest uporządkowaną parą wierzchołków danego czworokąta, to powyższy wzór można przedstawić jako

 

Wzór w tezie twierdzenia Ptolemeusza

 

przyjmie wtedy postać

 

Jego prawdziwość udowodnić można przy użyciu wzoru na iloczyn sinusów

 

Po jej zastosowaniu do każdej ze stron sześć wyrazów zniesie się parami, co kończy dowód.

Dowód inwersyjnyEdytuj

 
Podczas inwersji trzech wierzchołków czworokąta wpisanego przez okrąg przechodzący przez pozostały, czwarty wierzchołek, ich obrazy są współliniowe.

Niech dany będzie czworokąt   wpisany w okrąg  [6][7]. Niech dane będą również punkty   oraz   będące obrazami inwersyjnymi punktów   względem nowego okręgu   o środku w punkcie   i pewnym promieniu   Ponieważ punkty   leżą na okręgu   który przechodzi przez środek okręgu   to ich obrazy   i   będą współliniowe[8]. Wynika stąd, że

 
(4)

Dla każdych dwóch punktów   i  , przekształcanych przez inwersję względem okręgu o promieniu   zachodzić będzie[7]

 

Po zastosowaniu tej zależności do odcinków     i   otrzymuje się

 
(5)

Po wstawieniu tych równości do wzoru (4) jest

 

skąd (po sprowadzeniu do wspólnego mianownika) wynika teza.

Dowód twierdzenia odwrotnego

Powyższe rozumowanie daje niemal natychmiastowy dowód twierdzenia odwrotnego: jeśli założyć, że w czworokącie   zachodzi zależność (1) i zbada inwersję punktów   i   względem pewnego okręgu o środku w   to otrzyma się równość (4), z której wynika, że punkty   i   są współliniowe. Ale to oznacza, że wyjściowe punkty   i   będą leżały na pewnym okręgu przechodzącym przez   co czyni je współokręgowymi.

Uogólnienia i wnioskiEdytuj

Nierówność PtolemeuszaEdytuj

 
Jeśli trzy wierzchołki czworokąta nie będą współokręgowe, ich obrazy względem inwersji przez okrąg przechodzący przez czwarty wierzchołek nie będą współliniowe.

Twierdzenie Ptolemeusza jest szczególnym przypadkiem nierówności zachodzącej w dowolnym czworokącie[9][7]:

Jeśli   jest czworokątem, to prawdziwa jest nierówność
 
(10)
przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt   jest wpisany w okrąg.

Dowód powyższej nierówności opiera się na własnościach inwersji[6] i jest podobny do analogicznego dowodu twierdzenia Ptolemeusza. Jako że punkty   i   nie muszą teraz leżeć na okręgu, ich obrazami będą trzy (niekoniecznie współliniowe) punkty   i   które spełniają nierówność trójkąta

 

Równość pojawia się, gdy wpomniane punkty są współliniowe (w przeciwnym razie utworzą trójkąt). Po ponownym zastosowaniu wzorów (5) i analogicznych przekształceniach dostaje się nierówność (10).

Zarówno wyjściowe twierdzenie, jak i nierówność z nim związana są przypadkami ogólnego wzoru, prawdziwego dla dowolnego czworokąta  [3]:

 

Gdy czworokąt   jest wpisany w okrąg, suma miar przeciwległych kątów jest równa mierze kąta półpełnego więc:

 

i ostatecznie  

Innym uogólnieniem twierdzenia Ptolemeusza jest twierdzenie Caseya.

PrzypisyEdytuj

  1. Ptolemeusz ↓.
  2. Coxeter i Greitzer 1967 ↓, s. 42.
  3. a b c Bottema 2008 ↓, s. 104.
  4. Ptolemeusza twierdzenie, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-09-29].
  5. Yiu 1998 ↓, s. 148–150.
  6. a b Bogomolny ↓.
  7. a b c Pedoe 1995 ↓, s. 10–11.
  8. Coxeter i Greitzer 1967 ↓, s. 109.
  9. Coxeter i Greitzer 1967 ↓, s. 42,106–107.

BibliografiaEdytuj

  • O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.
  • H.S.M. Coxeter: Introduction to geometry (Wstęp do geometrii dawnej i nowej). Ryszard Krasnodębski (tłum.). Wyd. II. John Wiley & Sons Inc., 1961.
  • H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, 1967.
  • Dan Pedoe: Circles: A Mathematical View. The Mathematical Association of America, 1995.
  • Klaudiusz Ptolemeusz: Almagest., księga I, rozdział X
  • Paul Yiu: Notes on Euclidean Geometry. 1998.

Linki zewnętrzneEdytuj

Skany i tłumaczenia Almagestu Ptolemeusza: