Otwórz menu główne

Treść twierdzeniaEdytuj

Dla każdej liczby naturalnej   istnieje taka liczba naturalna   że wśród dowolnych   osób zawsze znajdziemy   osób, które znają się każda z każdą, lub   osób, które nie znają się żadna z żadną.

Wtedy najmniejsze takie   i jest  -tą liczbą Ramseya.

Przedstawienie graficzneEdytuj

Jeśli narysujemy   punktów i połączymy je każdy z każdym dwoma kolorami, to   jest  -tą liczbą Ramseya wtedy i tylko wtedy, gdy   jest najmniejszą liczbą taką, że na takim grafie pełnym znajdziemy jednokolorową klikę o   wierzchołkach.

Liczby RamseyaEdytuj

DefinicjaEdytuj

Liczbą Ramseya   dla   i   nazywamy najmniejszą liczbę   taką że dla dowolnego  -pokolorowania krawędziowego  -wierzchołkowego grafu pełnego istnieje   takie, że w pokolorowanym grafie jest klika rozmiaru   której wszystkie krawędzie są w kolorze  

 
Dwukolorowanie krawędzi grafu K5 bez monochromatycznej kliki rozmiaru 3. Dowód, że  

PrzykładEdytuj

Aby znaleźć na przykład wartość R(3,3), kolorujemy krawędzie grafów pełnych dwoma kolorami (np. czerwonym i niebieskim), szukając najmniejszego grafu pełnego, dla którego przy dowolnym kolorowaniu znajdziemy albo trójkąt czerwony, albo trójkąt niebieski. Okazuje się, że R(3,3)=6. Dowód: wybierzmy dowolny punkt grafu pełnego o sześciu wierzchołkach. Wychodzi z niego pięć krawędzi, więc przynajmniej trzy mają wspólny kolor. Załóżmy bez utraty ogólności, że są to trzy czerwone krawędzie (sytuacje te charakteryzują się pełną symetrią). Krawędzie te prowadzą do trzech różnych punktów; te trzy nowe punkty są połączone między sobą trzema krawędziami. Jeżeli choć jedna z nowych krawędzi jest czerwona, powstaje czerwony trójkąt, w przeciwnym przypadku powstaje niebieski trójkąt. Wobec tego R(3, 3) nie może być większe od 6. Rysunek po lewej dowodzi, że nie może być równe 5 ani mniejsze, więc istotnie jest równe 6. Ma to bardzo wygodną interpretację, mianowicie w zbiorze 6 osób zawsze znajdziemy 3 osoby znające się wzajemnie lub 3 osoby, które się nie znają.

Wyznaczanie wartości liczb RamseyaEdytuj

Okazuje się, że wyznaczenie wartości liczb Ramseya jest bardzo trudnym obliczeniowo zadaniem. Często mamy do dyspozycji bardzo dokładne ich oszacowania, a nie jesteśmy w stanie określić ich wartości, mimo że nie są to wielkie liczby. Poniżej dotychczasowe osiągnięcia w tej dziedzinie:

Liczba Wartość Odkrywca, rok
R(3,3) 6 Greenwood i Gleason, 1955
R(3,4) 9 Greenwood i Gleason, 1955
R(3,5) 14 Greenwood i Gleason, 1955
R(4,4) 18 Greenwood i Gleason, 1955
R(3,6) 18 Kery, 1964
R(3,7) 23 Kalbfleich, 1966
R(3,8) 28 Graver i Yachel, 1968
R(3,9) 36 McKay i Zhang Ke Min, 1992
R(4,5) 25 McKay i Radziszowski, 1995
R(3,3,3) 17 Greenwood i Gleason, 1955
  (nie wyznaczono dokładnej wartości)
  jw.
  jw.
  jw.
  jw.
  jw.
  jw.
  jw.

źródło: Optymalizacja dyskretna, modele i metody kolorowania grafów, pod redakcją Marka Kubale, WNT 2002.

Algorytm kwantowyEdytuj

W roku 2011 zaproponowany został kwantowy algorytm obliczania dwukolorowych liczb Ramseya  [1]. Algorytm został następnie użyty eksperymentalnie do wyliczenia liczb   i   używając komputera kwantowego o 84 kubitach[2]. Minimalna liczba kubitów niezbędna do wyliczenia dwukolorowej liczby Ramseya wynosi   gdzie   jest wartością wyliczanej liczby[1]. Zaproponowany algorytm kwantowy sprawdza, czy dla danej liczby wierzchołków wszystkie grafy mają własność podaną w definicji. Dla znalezienia liczby Ramseya algorytm uruchamiany jest kolejno dla coraz większych   szukaną wartością   jest najniższe   dla którego zwróci on odpowiedź pozytywną.

Nieklasyczne liczby RamseyaEdytuj

Klasyczne liczby Ramseya zdefiniowane są za pomocą kolorowania grafów pełnych, w których poszukujemy monochromatycznych klik (czyli podgrafów pełnych). Pojęcie można jednak uogólnić na poszukiwania dowolnych podgrafów monochromatycznych.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b Frank Gaitan, Lane Clark. Ramsey numbers and adiabatic quantum computing. „Phys. Rev. Lett.”. 108, s. 010501, 2012. DOI: 10.1103/PhysRevLett.108.010501. arXiv:1103.1345 (ang.). 
  2. ZhengBing Bian, Fabian Chudak, William G. Macready, Frank Gaitan i inni. Experimental determination of Ramsey numbers with quantum annealing. , 2012. arXiv:1201.1842 (ang.). 

BibliografiaEdytuj

  • Magazyn Miłośników Matematyki 3/2008.
  • Tomasz Bartnicki. Czy 11 jest największą liczbą na świecie?. „Matematyka Społeczeństwo Nauczanie”. 39, s. 33, 34, styczeń 2007.