Twierdzenie Riemanna-Lebesgue’a

Twierdzenie lub lemat Riemanna–Lebesgue’atwierdzenie analizy harmonicznej, noszące nazwiska Bernharda Riemanna i Henriego Lebesgue’a, mówiące o tym, że transformata Fouriera lub transformata Laplace’a funkcji bezwzględnie całkowalnej w sensie Lebesgue’a znika w nieskończoności.

TwierdzenieEdytuj

Niech   będzie funkcją mierzalną należącą do przestrzeni Lebesgue’a   tzn. spełniającą nierówność

 

Wówczas transformata Fouriera

 

bądź innymi słowy: obraz   należy do podprzestrzeni   funkcji ciągłych znikających w nieskończoności przestrzeni  

DowódEdytuj

Niech   będzie funkcją mierzalną z przestrzeni  czyli   wówczas:

 
(1)

gdzie  

Zacznijmy obliczenia od funkcji charakterystycznej przesuniętego o dowolny wektor hipersześcianu o bieżącym punkcie centralnym   i boku o długości równej   Zbiór będzie oznaczany dalej jako  

 

Fakt, że   wskazuje iż przynajmniej jedna ze składowych wektora   dąży do nieskończoności, bez utraty ogólności można przyjąć, że jest to   a zatem:

 

skutkiem czego, korzystając między innymi z nierówności trójkąta, uzyskuje się:

 
(2)

Niech   będzie dowolnym zbiorem mierzalnym takim, że jego miara Lebesgue’a   ma pewną skończoną wartość liczbową, natomiast   przybliżeniem   takim, że   ponadto:

 
 

gdzie   jest maksymalnym zbiorem otwartym zawartym w    

 

Zastosowana metoda aproksymacji   przez   daje pozytywny rezultat, gdyż standardowa konstrukcja pokrycia zbioru mierzalnego opiera się na przedziałach, których funkcje charakterystyczne są nieciągłe na zbiorze miary zero taka sama sytuacja zajdzie zatem również w przypadku   Można dokonać podziału na przeliczalną liczbę obszarów z których każdy jest się w stanie pokryć przy pomocy ciągu   z odpowiednio dopasowaną deltą. Ostatecznie jego wyrazy jako zbiór równoliczny z podzbiorem iloczynu kartezjańskiego (przeliczalna liczba obszarów to też przeliczalna liczba oddzielnych sum) są przeliczalne.

Stosując zależność (2), można obliczyć granicę iterowaną:

 

na mocy nierówności trójkąta:

 

ponowne skorzystanie z nierówności trójkąta pozwala na wyrugowanie   po prawej stronie, zatem:

 

stąd:

 

pamiętając, że zbiory   i   nie mają ze sobą części wspólnej:

 
 

Równość powyżej jest naturalną konsekwencją iż na mocy przyjętych założeń   wobec czego różnica symetryczna zbiorów   natomiast miara Lebesgue’a będzie różnicą miar. Uwzględniając, że   jest zbiorem mierzalnym o skończonej mierze, można wyznaczyć granicę:

 
(3)

Niech   będzie funkcją mierzalną z przestrzeni   jej całkę Lebesgue’a można zatem obliczyć jako:

 
(4)

zaś samą funkcję   przedstawić wyrażeniem:

 

gdzie   zaś  

Licząc granicę iterowaną i korzystając z faktu, iż   powoduje, że   co pozwala skorzystać z zależności (3) a zatem:

 

stosując ponownie nierówność trójkąta:

 

więc:

 

Uwzględniwszy, że na mocy założeń dla każdego   funkcja   a także, iż   oraz zależność (4):

 
(5)

Powyższy rezultat jest ściśle powiązany z przynależnością   do przestrzeni   oraz mierzalnością, co pozwala na uniknięcie braku istnienia granicy i symbolów nieoznaczonych typu  

Niech   będzie funkcją mierzalną z przestrzeni   wówczas jej całkę Lebesgue’a można przedstawić w postaci:

 

gdzie   zaś   Uwzględnienie postulatu σ-skończoności, który cechuje miarę Lebesgue’a i implikuje mierzalnością zbiorów   i   prowadzi do wniosku, że funkcje   i   muszą być mierzalne jeżeli mierzalnym jest   ponadto:

 

więc   co pozwala mi na skorzystanie z zależności (5) a zatem:

 
(6)

Teraz można już przeprowadzić ostateczny dowód dla funkcji   scharakteryzowanej wraz z wyrażeniem (1). Założenie dotyczące mierzalności skutkuje mierzalnością   oraz   Ponadto:

 

wobec czego   dzięki czemu można użyć zależności (6), więc:

 

co też należało wykazać. Zachodzenie całkowalności w sensie Riemanna, jest możliwe tylko w przypadku zachodzenia całkowalności w sensie Lebesgue’a, zatem odrębny dowód nie jest konieczny, gdyż prowadzi do identycznego rezultatu. Istnieje całkiem spora grupa funkcji z przestrzeni L1, dla których granica (1) w sensie R-całki nie istnieje, czego przykładem jest chociażby   co nie jest wynikiem, który powinno się traktować jako miarodajny, gdyż dowolny zbiór przeliczalny   można pokryć sumą o postaci   gdzie   może być dowolnie bliski zeru, natomiast funkcja   jest zazwyczaj bijekcją. Czuje się tutaj jednocześnie wyraźny sens istnienia nieprzeliczalności, gdyż w przypadku policzalności zbioru   wszystko byłoby skomasowane w dokładnie jednym punkcie, czyli nie miałoby sensu.

UwagiEdytuj

  • W języku rachunku prawdopodobieństwa twierdzenie to można wyrazić następująco:
    Jeżeli   jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym (lub: z wartością oczekiwaną), to jej funkcja charakterystyczna dąży do zera:
     
  • Jeżeli nośnik   to teza zachodzi również dla transformaty Laplace’a, tj.
     
  • Istnieje również wersja dla szeregów Fouriera:
    Jeśli   jest funkcją całkowalną (w sensie Lebesgue’a) na przedziale, to współczynniki Fouriera   przy   wystarczy rozszerzyć   przyjmując 0 poza wspomnianym przedziałem, a następnie zastosować twierdzenie dla całej prostej.
  • Tezę można uogólnić na wielowymiarowe przestrzenie euklidesowe: jeżeli   to wystarczy przyjąć