Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym

Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym mówi, że każde ciągłe przekształcenie niepustego, wypukłego i zwartego podzbioru przestrzeni Banacha w siebie ma punkt stały.

Innymi słowy: każdy niepusty, wypukły i zwarty podzbiór przestrzeni Banacha ma (topologiczną) własność punktu stałego.

Twierdzenie zostało udowodnione w 1930 roku przez polskiego matematyka Juliusza Schaudera.

Dowód twierdzenia

Załóżmy, że $K$ jest niepustym, wypukłym i zwartym podzbiorem przestrzeni Banacha i przekształcenie $f\colon K\to K$ jest ciągłe. Ponieważ zbiór $K$ jest zwarty, to dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje skończona $\varepsilon$ -sieć: $\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}\}\subset K.$ Dla każdego $i\in \{1,2,\dots ,k\}$ zdefiniujmy funkcję

$d_{i}(x)={\begin{cases}\varepsilon -\|x-p_{i}\|,&\mathrm {dla} \ \|x-p_{i}\|\leqslant \varepsilon ,\\0,&\mathrm {dla} \ \|x-p_{i}\|>\varepsilon ,\end{cases}}$

i zauważmy, że jest ona ciągła. Przyjmijmy, że ${\tilde {K}}=K\cap \mathrm {aff} \{p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}\},$ gdzie $\mathrm {aff} X$ oznacza otoczkę afiniczną zbioru $X,$ i zdefiniujmy funkcję $\varphi \colon K\to {\tilde {K}}$ wzorem

$\varphi (x)={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}d_{i}(x)}{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}d_{i}(x)}},\;x\in K.$

Jest to funkcja ciągła, a zatem również funkcja ${\tilde {f}}\colon {\tilde {K}}\to {\tilde {K}},$ określona wzorem ${\tilde {f}}(x)=\varphi (f(x)),$ jest ciągła. Zbiór ${\tilde {K}}$ jest wypukły i zwarty oraz jest zawarty w podprzestrzeni $\mathrm {lin} \{p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}\}$ o skończonym wymiarze, więc korzystając z odpowiedniej wersji twierdzenia Brouwera o punkcie stałym stwierdzamy, że istnieje taki punkt $x_{\varepsilon }\in {\tilde {K}},$ że ${\tilde {f}}(x_{\varepsilon })=x_{\varepsilon }.$ Ponieważ

$\|x_{\varepsilon }-f(x_{\varepsilon })\|\leqslant \|x_{\varepsilon }-{\tilde {f}}(x_{\varepsilon })\|+\|{\tilde {f}}(x_{\varepsilon })-f(x_{\varepsilon })\|,$

to

$\|x_{\varepsilon }-f(x_{\varepsilon })\|\leqslant \|\varphi (f(x_{\varepsilon }))-f(x_{\varepsilon })\|\leqslant \varepsilon ,$

gdyż dla każdego $x\in K$ mamy $\|\varphi (x)-x\|\leqslant \varepsilon .$

Zatem $\lim _{\varepsilon \to 0}\|x_{\varepsilon }-f(x_{\varepsilon })\|=0.$ Ze zwartości zbioru $K$ wynika, że granica $\lim _{\varepsilon \to 0}x_{\varepsilon }$ jest elementem zbioru $K,$ a z ciągłości funkcji $f$ – to, że jest ona punktem stałym funkcji $f.$

Uogólnienia

Prawdziwe są również następujące ogólniejsze twierdzenia, również nazywane twierdzeniami Schaudera:

• Załóżmy, że $K$ jest niepustym, domkniętym, wypukłym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha, funkcja $f\colon K\to K$ jest ciągła i ${\overline {f(K)}}$ jest zbiorem zwartym. Wtedy $f$ ma punkt stały w zbiorze $K.$

Zamiast wypukłości wystarczy założyć o $K,$ że jest absolutnym retraktem Borsuka (AR).

• (Twierdzenie Schaudera-Tichonowa) Załóżmy, że $K$ jest niepustym, wypukłym i zwartym podzbiorem lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej i funkcja $f\colon K\to K$ jest ciągła. Wtedy $f$ ma punkt stały w zbiorze $K.$ Można odstąpić od założenia lokalnej wypukłości jak pokazał francuski matematyk Cauty (artykuł w Fundamenta Mathematicae).

• (Twierdzenie Darbo, 1950) Niech $K$ będzie niepustym, domkniętym, wypukłym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha, zaś $f\colon K\to K$ będzie kontrakcją względem odpowiedniej miary niezwartości $\psi$ (np. Kuratowskiego, Hausdorffa), tzn. $\psi (\,f(A)\,)\leqslant k\cdot \psi (A)$ przy $A\subseteq K$ dla pewnej stałej $k<1.$ Wówczas $f$ posiada punkt stały. Odnotujmy, że kontrakcje Banacha są zwężające zarówno względem miary niezwartości Kuratowskiego, jak i Hausdorffa; tym samym w klasie przestrzeni Banacha twierdzenie Darbo stanowi wspólne uogólnienie twierdzeń Schaudera i Banacha o punkcie stałym. Dalsze uogólnienia sformułowali m.in. Nussbaum i Sadovskii (teoria stopnia Leray-Schaudera dla przekształceń kondensujących).

Zastosowania

Twierdzenia Schaudera stosuje się na przykład do dowodzenia twierdzeń:

• o istnieniu rozwiązań równań różniczkowych.

Zobacz też

• Twierdzenie Banacha o kontrakcji
• Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym
• Twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym