Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym

Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym mówi, że każde ciągłe przekształcenie niepustego, wypukłego i zwartego podzbioru przestrzeni Banacha w siebie ma punkt stały.

Innymi słowy: każdy niepusty, wypukły i zwarty podzbiór przestrzeni Banacha ma (topologiczną) własność punktu stałego.

Twierdzenie zostało udowodnione w 1930 roku przez polskiego matematyka Juliusza Schaudera.

Dowód twierdzeniaEdytuj

Załóżmy, że   jest niepustym, wypukłym i zwartym podzbiorem przestrzeni Banacha i przekształcenie   jest ciągłe. Ponieważ zbiór   jest zwarty, to dla każdego   istnieje skończona   -sieć:   Dla każdego   zdefiniujmy funkcję

 

i zauważmy, że jest ona ciągła. Przyjmijmy, że   gdzie   oznacza otoczkę afiniczną zbioru   i zdefiniujmy funkcję   wzorem

 

Jest to funkcja ciągła, a zatem również funkcja   określona wzorem   jest ciągła. Zbiór   jest wypukły i zwarty oraz jest zawarty w podprzestrzeni   o skończonym wymiarze, więc korzystając z odpowiedniej wersji twierdzenia Brouwera o punkcie stałym stwierdzamy, że istnieje taki punkt   że   Ponieważ

 

to

 

gdyż dla każdego   mamy  

Zatem   Ze zwartości zbioru   wynika, że granica   jest elementem zbioru   a z ciągłości funkcji   – to, że jest ona punktem stałym funkcji  

UogólnieniaEdytuj

Prawdziwe są również następujące ogólniejsze twierdzenia, również nazywane twierdzeniami Schaudera:

  • Załóżmy, że   jest niepustym, domkniętym, wypukłym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha, funkcja   jest ciągła i   jest zbiorem zwartym. Wtedy   ma punkt stały w zbiorze  

Zamiast wypukłości wystarczy założyć o   że jest absolutnym retraktem Borsuka (AR).

  • (Twierdzenie Darbo, 1950) Niech   będzie niepustym, domkniętym, wypukłym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha, zaś   będzie kontrakcją względem odpowiedniej miary niezwartości   (np. Kuratowskiego, Hausdorffa), tzn.   przy   dla pewnej stałej   Wówczas   posiada punkt stały. Odnotujmy, że kontrakcje Banacha są zwężające zarówno względem miary niezwartości Kuratowskiego, jak i Hausdorffa; tym samym w klasie przestrzeni Banacha twierdzenie Darbo stanowi wspólne uogólnienie twierdzeń Schaudera i Banacha o punkcie stałym. Dalsze uogólnienia sformułowali m.in. Nussbaum i Sadovskii (teoria stopnia Leray-Schaudera dla przekształceń kondensujących).

ZastosowaniaEdytuj

Twierdzenia Schaudera stosuje się na przykład do dowodzenia twierdzeń:

  • o istnieniu rozwiązań równań różniczkowych.

Zobacz teżEdytuj