Twierdzenie Sobczyka

Twierdzenie Sobczyka – twierdzenie teorii przestrzeni Banacha mówiące, że każda izometryczna kopia przestrzeni c₀ zanurzona w ośrodkowej przestrzeni Banacha jest obrazem pewnego rzutowania o normie nie przekraczającej 2 (tj. jest 2-komplementarna)^[1].

Twierdzenie Sobczyka kontrastuje z wynikiem Ralpha S. Phillipsa mówiącym, że żadna kopia przestrzeni $c_{0}$ zanurzona w przestrzeni $\ell _{\infty }$ nie ma dopełnienia komplementarnego^[2]. Rezultat ten otrzymał także Sobczyk^[3].

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska amerykańskiego matematyka, Andrew Sobczyka, który opublikował jego dowód w 1944 roku^[4]. Twierdzenie to doczekało się od tego czasu wielu różnych dowodów podanych m.in. przez Aleksandra Pełczyńskiego^[5], Williama A. Veecha^[6], Saymoura Goldberga^[7], André Martineau^[8] Dirka Wernera^[9] czy Félixa Cabello Sáncheza^[10].

Istnieją także uogólnienia zaproponowane przez V.S. Hasanowa^[11], Aníbala Moltó^[12] czy Félixa Cabello Sáncheza i Jesusa M. Castillo^[13].

Dowód Veecha edytuj

Niech $X$ będzie ośrodkową przestrzenią Banacha oraz niech $F\subseteq X$ będzie podprzestrzenią izometryczną z $c_{0}.$ Z ośrodkowości $X$ wynika metryzowalność w słabej topologii $B_{X^{*}},$ kuli jednostkowej przestrzeni $X^{*}.$ Niech $d$ będzie metryką na $B_{X^{*}}$ wyznaczającą słabą topologię.

Utożsamiając $F$ z $c_{0},$ dla każdego $n$ odwzorowanie

\langle e_{n}^{*},(\xi _{k})_{k=1}^{\infty }\rangle =\xi _{n}\quad ((\xi _{k})_{k=1}^{\infty }\in c_{0})

jest funkcjonałem liniowym na $F$ o normie 1. Z twierdzenia Hahna-Banacha wynika istnienie funkcjonałów $f_{n}$ w $X^{*}$ również o normie 1, które rozszerzają $e_{n}^{*}.$ Niech

S=\{f\in X^{*}\colon f|_{F}=0\}

Każdy *-słaby punkt skupienia ciągu $(f_{n})$ należy do $S,$ a zatem

\lim _{n\to \infty }d(f_{n},S)=0.

Istnieje zatem taki ciąg $(g_{n})$ w zbiorze $S,$ że

\lim _{n\to \infty }d(f_{n},g_{n})=0.

Z powyższego wynika, że ciąg $(g_{n}-f_{n})$ (mający normę co najwyżej 2) jest *-słabo zbieżny do 0. Ostatecznie, odwzorowanie

x\mapsto (\langle x,g_{k}-f_{k}\rangle )_{k=1}^{\infty }\quad (x\in X)

jest rzutem na $F$ o normie co najwyżej 2^[14].

Przypisy edytuj

↑ Lindenstrauss i Tzafriri 1977 ↓, s. 78.
↑ R.S. Phillips, On linear transformations, „Trans. Amer. Math. Soc.”, 48 (1940), s. 516–541.
↑ A. Sobczyk, Projection of the space (m) on its subspace c₀, „Bull. Amer. Math. Soc.”, 47 (1941), s. 938–947.
↑ A. Sobczyk, On the extension of linear transformations, „Trans. Amer. Math. Soc.”, 55 (1944), s. 153–169.
↑ A. Pełczyński, Projections in certain Banach spaces, „Stud. Math.”, 19 (1960), s. 209–228.
↑ W.A. Veech, Short proof of Sobczyk’s theorem, „Proc. Amer. Math. Soc.”, 28 (1971), s. 627–628.
↑ S. Goldberg, On Sobczyk’s projection theorem, „Amer. Math. Monthly”, 76 (1969), s. 523–526.
↑ A. Martineau, Propriété de prolongement et de relevement de certaines classes d’applications linéaires et bilinéaires, „Séminaire d’Analyse Fonctionnelle”, 1963–1964, Faculté des Sciences de Montpellier, Montpellier 1964, s. 3–47.
↑ D. Werner, De nouveau: M-ideaux des espaces d’operateurs compacts, „Séminaire d’Initiation à l’Analyse”, Exp. No. 17, Publ. Math. Univ. Pierre et Marie Curie, 94, Univ. Paris VI, Paris, 1989.
↑ F. Cabello Sánchez, Yet another proof of Sobczyk’s theorem. „Methods in Banach space theory”, London Math. Soc. Lecture Notes 337. Cambridge Univ. Press 2006, s. 133–138.
↑ V.S. Hasanov, Some universally complemented subspaces in m('Γ'), „Math. Zametki”, 27 (1980), s. 105–108.
↑ A. Moltó, On a theorem of Sobczyk, „Bull. Aust. Math. Soc.”, 43 (1991), s. 123–130.
↑ F. Cabello Sáanchez, J.M.F. Castillo, Banach space techniques underpinning a theory for nearly additive mappings, „Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.)”, 404 (2002).
↑ Dales et al. 2016 ↓, s. 78.

Bibliografia edytuj

H.G.H.G. Dales H.G.H.G. i inni, Banach Spaces of Continuous Functions as Dual Spaces, Springer, 2016 (CMS Books in Mathematics), ISBN 978-3-319-32349-7 ..
F. Cabello Sánchez, J.M.F. Castillo, D. Yost, Sobczyk’s Theorems from A to B, „Extracta Mathematicae” 15, Num. 2 (2000), s. 391–420.
J.J. Lindenstrauss J.J., L.L. Tzafriri L.L., Classical Banach Spaces I. Sequence Spaces, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1977 ..

[CITEREFLindenstraussTzafriri197778-1] Lindenstrauss i Tzafriri 1977 ↓, s. 78.

[2] R.S. Phillips, On linear transformations, „Trans. Amer. Math. Soc.”, 48 (1940), s. 516–541.

[3] A. Sobczyk, Projection of the space (m) on its subspace c₀, „Bull. Amer. Math. Soc.”, 47 (1941), s. 938–947.

[4] A. Sobczyk, On the extension of linear transformations, „Trans. Amer. Math. Soc.”, 55 (1944), s. 153–169.

[5] A. Pełczyński, Projections in certain Banach spaces, „Stud. Math.”, 19 (1960), s. 209–228.

[6] W.A. Veech, Short proof of Sobczyk’s theorem, „Proc. Amer. Math. Soc.”, 28 (1971), s. 627–628.

[7] S. Goldberg, On Sobczyk’s projection theorem, „Amer. Math. Monthly”, 76 (1969), s. 523–526.

[8] A. Martineau, Propriété de prolongement et de relevement de certaines classes d’applications linéaires et bilinéaires, „Séminaire d’Analyse Fonctionnelle”, 1963–1964, Faculté des Sciences de Montpellier, Montpellier 1964, s. 3–47.

[9] D. Werner, De nouveau: M-ideaux des espaces d’operateurs compacts, „Séminaire d’Initiation à l’Analyse”, Exp. No. 17, Publ. Math. Univ. Pierre et Marie Curie, 94, Univ. Paris VI, Paris, 1989.

[10] F. Cabello Sánchez, Yet another proof of Sobczyk’s theorem. „Methods in Banach space theory”, London Math. Soc. Lecture Notes 337. Cambridge Univ. Press 2006, s. 133–138.

[11] V.S. Hasanov, Some universally complemented subspaces in m('Γ'), „Math. Zametki”, 27 (1980), s. 105–108.

[12] A. Moltó, On a theorem of Sobczyk, „Bull. Aust. Math. Soc.”, 43 (1991), s. 123–130.

[13] F. Cabello Sáanchez, J.M.F. Castillo, Banach space techniques underpinning a theory for nearly additive mappings, „Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.)”, 404 (2002).

[CITEREFDales_''et_al.''201678-14] Dales et al. 2016 ↓, s. 78.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]