Twierdzenie Stokesa

Twierdzenie Stokesa – twierdzenie mówiące, że cyrkulacja pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym konturze gładkim jest równa strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w teorii pól. Używane jest w mechanice płynów, równaniach Maxwella i wielu innych. Twierdzenia Greena i Ostrogradskiego-Gaussa można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa.

George Gabriel Stokes (1819–1903)

Twierdzenie Stokesa w przestrzeni Edytuj

Jeżeli   jest płatem powierzchni w   a   jego gładkim, zorientowanym dodatnio konturem, to dla dowolnego pola wektorowego   (gdzie  ) mamy:

 

DowódEdytuj

Niech   gdzie   oraz   Wówczas, wykorzystując regułę łańcuchową oraz wzór na całkę krzywoliniową (tu krzywą jest  ), otrzymujemy równość:

 

(Analogiczne wzory zachodzą dla składowych   i  ).

A więc z twierdzenia Greena mamy:

 

Po prawej stronie powyższej równości stosujemy wzór na pochodną iloczynu oraz regułę łańcuchową i otrzymujemy:

 

Gdy przeprowadzimy analogiczne rozumowania dla składowych   i   i wyniki zsumujemy, otrzymamy:

 

gdzie  

Jednak prawa strona powyższego równanie jest strumieniem pola wektorowego   przez płat   Co daje tezę.

Najogólniejsza wersja twierdzenia StokesaEdytuj

Twierdzenie Stokesa można wypowiedzieć najogólniej dla  -wymiarowych powierzchni gładkich.

Załóżmy, że   jest orientowalną powierzchnią gładką,   jest zbiorem zwartym oraz   oraz, że brzeg   jest  -wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli   jest zbiorem otwartym zawierającym powierzchnię     jest formą klasy   a   jest orientacją powierzchni   to

 

gdzie orientacja   powierzchni   dana jest wzorem

 

dla   a

 

jest taką funkcją, że   jest wektorem zewnętrznym do zbioru   w punkcie       jest wektorem normalnym do powierzchni   w punkcie   dla każdego  

WnioskiEdytuj

Wzór Gaussa-OstrogradskiegoEdytuj

Załóżmy, że   jest zbiorem otwartym,   zbiorem zwartym, który jest równy domknięciu swojego wnętrza oraz takim, brzeg   jest  -wymiarową powierzchnią gładką oraz

 

jest funkcją o własnościach

  •   jest wektorem zewnętrznym do   w punkcie  
  •  
  •   jest wektorem normalnym do   w punkcie   leżącym na brzegu  

Jeżeli   jest funkcją klasy   to

 

gdzie   oznacza operator dywergencji.

Wzór Greena-RiemannaEdytuj

Osobny artykuł: Twierdzenie Greena.

Załóżmy, że   jest zbiorem otwartym,   jest zbiorem zwartym takim, że   oraz brzeg   jest krzywą gładką (to znaczy powierzchnią gładką 1-wymiarową), a ponadto

 

jest funkcją o własnościach

  •   jest wektorem stycznym do krzywej   w punkcie  
  •  
  •  

gdzie   jest funkcją taką jak w poprzednim twierdzeniu (przy  ). Jeżeli   jest funkcją klasy   to