Twierdzenie Vitalego o pokryciu

Twierdzenie Vitalego o pokryciu – noszące nazwisko Giuseppe Vitalego jedno z dwóch podstawowych twierdzeń o pokryciu (obok twierdzenia Bezikowicza) pomocne przy badaniu własności miary Lebesgue’a na przestrzeniach euklidesowych; z geometrycznego punktu widzenia daje pokrycie kulami powiększonymi w stosunku do wyjściowych, dzięki czemu jest z nich łatwiejsze w zrozumieniu i zastosowaniu.

Twierdzenie umożliwia mierzenie i teoretyczne „wypełnienie” dowolnego zbioru otwartego przeliczalnie wieloma rozłącznymi kulami domkniętymi o ograniczonym promieniu (z wykorzystaniem miary Lebesgue’a, twierdzenie Bezikowicza umożliwia podobną operację dla ogólniejszych miar Radona); jest także pomocne jako środek dowodowy dla nierówności dla operatora Hardy’ego-Littlewooda.

Sformułowanie „(pod)rodzina kul rozłącznych” oznacza, że rozłączne są dowolne dwie kule w danej (pod)rodzinie; innymi słowy rozpatrywane kule są zbiorami parami rozłącznymi.

TwierdzenieEdytuj

 
Na górze: rodzina kul; zielone kule tworzą rozłączną podrodzinę.
Na dole: podrodzina kul o trzykrotnie większych promieniach pokrywa wszystkie kule.

Niech   oznacza kulę domkniętą w   zaś   oznacza współśrodkową kulę domkniętą o promieniu pięciokrotnie większym od promienia   Rodzinę   kul domkniętych w   nazywa się pokryciem zbioru   jeżeli

 
Teza

Niech   oznacza dowolną rodzinę niezdegenerowanych kul domkniętych w   przy czym

 

Wówczas istnieje rodzina przeliczalna   rozłącznych kul w   dla której

 

DowódEdytuj

Oznaczenia
Niech   Ponadto
 
Zbiór   będzie określony indukcyjnie jak następuje:
  • niech   będzie maksymalną rodziną rozłączną kul w  
  • zakładając, że   są już wskazane, rodzina   będzie dana jako dowolna maksymalna podrodzina rozłączna
     
Wreszcie
 
przy czym jest ona rodziną kul rozłącznych oraz  

Przy podanych definicjach wystarczy wykazać następujące

Stwierdzenie
Dla każdej kuli   istnieje kula   dla której   oraz  
Dowód
Niech   będzie ustalony. Istnieje wtedy wskaźnik   dla którego   Z maksymalności   istnieje kula   dla której   Jednakże   oraz   stąd zaś   Zatem  
Uwagi
  • Stała   w definicji   nie jest optymalna. Jeśli przy definiowaniu   zamiast   użyto by   dla   to wartość   można by zastąpić przez   Każda stała ściśle większa od   daje poprawne sformułowanie twierdzenia.
  • W najogólniejszym przypadku przestrzeni metrycznych wybór maksymalnej podrodziny rozłącznej wymaga lematu Kuratowskiego-Zorna.
  • Nie istnieje systematyczny sposób kontrolowania   za pomocą   w przypadku, gdy   jest ogólną miarą Radona na   Przez to twierdzenie Vitalego o pokryciu nie jest aż tak pomocne przy badaniu tego rodzaju miar; twierdzenie Bezikowicza jest twierdzeniem o pokryciu, które nie wymaga powiększania kul za cenę ich rozłączności (przy zachowaniu kontroli nad stopniem ich nakładania).
  • Założenie o ograniczeniu średnicy (promienia) kuli jest niezbędne: w przypadku rodziny wszystkich kul o środku w początku   dowolna rozłączna podrodzina składa się wyłącznie z jednej kuli   jednakże   nie zawiera wszystkich kul tej rodziny.

LiteraturaEdytuj