Twierdzenie Wilsona

Twierdzenie Wilsona – twierdzenie w teorii liczb. Mówi ono, że liczba jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy liczba

jest podzielna przez [1][2].

Twierdzenie zostało odkryte przez Johna Wilsona, będącego studentem Edwarda Waringa. Jednak żaden z nich nie był w stanie go udowodnić. Dopiero w 1773 roku Lagrange dał przekonujący dowód. Istnieją również argumenty mówiące, że to Leibniz był pierwszym, który udowodnił to twierdzenie (chociaż nie opublikował dowodu).

Twierdzenie to daje potencjalną możliwość sprawdzenia dla każdej liczby naturalnej, czy jest pierwsza. Ponieważ nie są znane efektywne algorytmy obliczania silni, twierdzenia tego nie da się łatwo stosować w badaniu pierwszości liczb.

DowódEdytuj

Najpierw załóżmy, że   jest liczbą pierwszą. Twierdzenie zachodzi dla   oraz   Więc dodatkowo załóżmy, że   Klasy liczb całkowitych mod   tworzą ciało   Rozpatrzmy w nim równanie:

 

Ma ono te same rozwiązania co równanie   czyli

 

W ciele iloczyn niezerowych czynników jest niezerowy. Więc jedynymi rozwiązaniami powyższego równania są   oraz   (w ciele   dla   różnego od 2, zachodzi nierówność  ). Wynika stąd, że jedynymi elementami ciała   które są odwrotne do siebie, są 1 i –1. Zatem zbiór pozostałych niezerowych elementów ciała rozpada się na rozłączne pary elementów   o iloczynie   gdzie   Stąd wnioskujemy iż iloczyn wszystkich, poza 1 oraz –1, niezerowych elementów ciała, jako iloczyn iloczynów takich par, wynosi 1, co oznacza, że:

 

Po przemnożeniu powyższej kongruencji przez   czyli przez   (co jest tym samym mod  ), oraz po dopisaniu nieszkodliwego 1 po lewej, otrzymujemy:

 

czyli   jest podzielna przez  

Wykażemy teraz twierdzenie przeciwne i w tym celu przypuśćmy, że   jest złożoną liczbą naturalną. Wtedy istnieją takie dzielniki właściwe   oraz   liczby   że   Wtedy   Zatem

 

i stąd (pamiętając, że  )

 

więc

 

Tak więc

 

i liczba   nie jest podzielna przez  

UogólnienieEdytuj

Istnieje uogólnienie twierdzenia Wilsona, autorstwa Gaussa:

 

gdzie   jest liczbą pierwszą większą od 2.

Dla   zachodzi

 

więc równie dobrze można dodać   do drugiej gałęzi wzoru.

PrzypisyEdytuj

  1. Prof. dr hab. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ​ISBN 83-02-02551-8​, s. 295 (twierdzenie Wilsona).
  2. Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, s. 35.