Twierdzenie Zermela

Twierdzenie Zermela a. twierdzenie o dobrym uporządkowaniutwierdzenie teorii mnogości zapewniające (na gruncie teorii ZFC), że na każdym zbiorze można wprowadzić relację dobrego porządku. Opublikowane w 1904 roku przez Ernsta Zermela.

WnioskiEdytuj

Dla dowolnych dwóch zbiorów   i   zachodzi

  lub  

gdzie przez   oznacza moc zbioru   Oznacza to, że

Moce dowolnych zbiorów są porównywalne
Jest tak, gdyż z twierdzenia Zermela każdy z danych dwóch zbiorów można dobrze uporządkować, a zatem zgodnie z twierdzeniem o zbiorach dobrze uporządkowanych jeden z nich jest odcinkiem początkowym drugiego, a co za tym idzie ma moc mniejszą lub równą od niego.

Związek z aksjomatem wyboruEdytuj

Na gruncie teorii ZF zachodzi równoważność pomiędzy aksjomatem wyboru a twierdzeniem Zermela, tj. zakładając na gruncie ZF jedno z nich można udowodnić drugie.

Twierdzenie Zermela pociąga aksjomat wyboru
Istotnie, niech   będzie dowolną rodziną niepustych zbiorów. Z twierdzenia Zermeli wynika, że istnieje dobry porządek   na zbiorze   W szczególności, każdy niepusty podzbiór zbioru   ma element najmniejszy względem porządku   Jednakże dla każdego   zachodzi inkluzja   Wynika stąd, że przyporządkowanie
 
jest funkcją wyboru na   gdzie   oznacza element najmniejszy w   względem relacji  

BibliografiaEdytuj

  • Thomas Jech, The Axiom of Choice. Amsterdam: North Holland, 1973.